Có bao nhiêu giá trị nguyên của X thỏa mãn -10

Để tìm số giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn bất phương trình:

\[
\frac{-10x - 1}{x^2 + 2x - 3} < 0
\]

Trước tiên, ta phân tích tử số và mẫu số.

1. **Tử số**: \(-10x - 1\)

2. **Mẫu số**: \(x^2 + 2x - 3\)

Ta phân tích mẫu số thành các nhân tử:

\[
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
\]

Bất phương trình trở thành:

\[
\frac{-10x - 1}{(x + 3)(x - 1)} < 0
\]

Xét các điểm làm tử số và mẫu số bằng 0:

- Tử số: \(-10x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{10}\)
- Mẫu số: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) và \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Các điểm này chia trục số thành các khoảng:

\[
(-\infty, -3), (-3, -\frac{1}{10}), (-\frac{1}{10}, 1), (1, \infty)
\]

Ta xét dấu của biểu thức \(\frac{-10x - 1}{(x + 3)(x - 1)}\) trên từng khoảng:

1. **Khoảng \((- \infty, -3)\)**:
- Chọn \(x = -4\):
\[
\frac{-10(-4) - 1}{(-4 + 3)(-4 - 1)} = \frac{40 - 1}{-1 \cdot -5} = \frac{39}{5} > 0
\]

2. **Khoảng \((-3, -\frac{1}{10})\)**:
- Chọn \(x = -1\):
\[
\frac{-10(-1) - 1}{(-1 + 3)(-1 - 1)} = \frac{10 - 1}{2 \cdot -2} = \frac{9}{-4} < 0
\]

3. **Khoảng \((- \frac{1}{10}, 1)\)**:
- Chọn \(x = 0\):
\[
\frac{-10(0) - 1}{(0 + 3)(0 - 1)} = \frac{-1}{3 \cdot -1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0
\]

4. **Khoảng \((1, \infty)\)**:
- Chọn \(x = 2\):
\[
\frac{-10(2) - 1}{(2 + 3)(2 - 1)} = \frac{-20 - 1}{5 \cdot 1} = \frac{-21}{5} < 0
\]

Từ các khoảng trên, ta thấy bất phương trình \(\frac{-10x - 1}{(x + 3)(x - 1)} < 0\) thỏa mãn trong các khoảng:

\[
(-3, -\frac{1}{10}) \text{ và } (1, \infty)
\]

Ta tìm các giá trị nguyên của \( x \) trong các khoảng này:

- Trong khoảng \((-3, -\frac{1}{10})\): \(x = -2, -1, 0\)
- Trong khoảng \((1, \infty)\): \(x = 2, 3, 4, \ldots\)

Vậy, các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn bất phương trình là:

\[
x = -2, -1, 0, 2, 3, 4, \ldots
\]

Số giá trị nguyên của \( x \) là vô hạn.