Cho tam giác ABC nhọn với hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H sao cho HA = 2HD. Ta cần tính góc A với điều kiện \(\angle A = \tan B \times \tan C\).

Trước hết, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các đường cao để giải quyết bài toán này.

1. **Tính chất của đường cao và trực tâm:**
- Trong tam giác nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại trực tâm H.
- Đường cao AD chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông là \(\triangle ABD\) và \(\triangle ACD\).

2. **Điều kiện HA = 2HD:**
- Vì HA = 2HD, ta có thể viết lại là \(H\) chia đoạn \(AD\) theo tỉ lệ 2:1, tức là \(H\) nằm trên đoạn \(AD\) sao cho \(AH = 2HD\).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông ABD, ta có \(\tan B = \frac{BD}{AD}\).
- Trong tam giác vuông ACD, ta có \(\tan C = \frac{CD}{AD}\).

4. **Sử dụng điều kiện HA = 2HD:**
- Ta có \(AD = AH + HD = 2HD + HD = 3HD\).
- Do đó, \(HD = \frac{AD}{3}\).

5. **Tính góc A:**
- Ta biết rằng trong tam giác ABC, góc A có thể được tính bằng công thức \(\tan A = \tan B \times \tan C\) khi tam giác ABC nhọn và có một số điều kiện đặc biệt.
- Tuy nhiên, để chứng minh điều này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao.

6. **Chứng minh \(\tan A = \tan B \times \tan C\):**
- Ta biết rằng trong tam giác ABC nhọn, \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\).
- Sử dụng công thức lượng giác trong tam giác, ta có:
\[
\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin B \sin C}{\cos B \cos C - \cos A}
\]
- Do đó, nếu \(\tan A = \tan B \times \tan C\), ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{\sin A}{\cos A} = \tan B \times \tan C = \frac{\sin B}{\cos B} \times \frac{\sin C}{\cos C}
\]
- Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao.

Tóm lại, với điều kiện HA = 2HD, ta có thể suy ra rằng \(\angle A = \tan B \times \tan C\).