Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các định lý và công thức trong hình học tam giác.

1. **Tính chiều cao AH:**

- Đầu tiên, ta xác định góc A trong tam giác ABC. Vì tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ, ta có:
\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ
\]

- Giả sử cạnh BC = a. Ta cần tính chiều cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC. Chiều cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông: ABH và ACH.

- Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\[
\sin(\angle C) = \sin(40^\circ) = \frac{AH}{AB}
\]
\[
AH = AB \cdot \sin(40^\circ)
\]

- Trong tam giác vuông ACH, ta có:
\[
\sin(\angle B) = \sin(60^\circ) = \frac{AH}{AC}
\]
\[
AH = AC \cdot \sin(60^\circ)
\]

2. **Tính cạnh AC:**

- Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC:
\[
\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}
\]
Giả sử cạnh BC = a, cạnh AB = b, cạnh AC = c. Ta có:
\[
\frac{a}{\sin(80^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} = \frac{c}{\sin(40^\circ)}
\]

- Để tính cạnh AC (c), ta có:
\[
c = a \cdot \frac{\sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)}
\]

- Sử dụng bảng giá trị của các hàm số lượng giác, ta có:
\[
\sin(40^\circ) \approx 0.6428
\]
\[
\sin(80^\circ) \approx 0.9848
\]

- Do đó:
\[
c = a \cdot \frac{0.6428}{0.9848} \approx a \cdot 0.6527
\]

Tóm lại, để tính chiều cao AH và cạnh AC, ta cần biết độ dài của cạnh BC (a). Nếu biết giá trị của a, ta có thể tính được:

- Chiều cao AH:
\[
AH = AB \cdot \sin(40^\circ) \quad \text{hoặc} \quad AH = AC \cdot \sin(60^\circ)
\]

- Cạnh AC:
\[
AC = a \cdot \frac{\sin(40^\circ)}{\sin(80^\circ)} \approx a \cdot 0.6527
\]