Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường phân giác.

### Phần a: Chứng minh \(ID = IF\) và \(IE = IF\)

1. **Chứng minh \(ID = IF\)**:
- Xét tam giác \(BIC\), \(I\) là giao điểm của các đường phân giác trong của góc \(B\) và \(C\).
- Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với các cạnh \(AB\), \(BC\), và \(CA\) lần lượt tại các điểm \(D\), \(F\), và \(E\).
- Do đó, các đoạn thẳng \(ID\), \(IF\), và \(IE\) đều là các bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- Vì các bán kính của một đường tròn bằng nhau, ta có \(ID = IF\).

2. **Chứng minh \(IE = IF\)**:
- Tương tự như trên, \(IE\) và \(IF\) cũng là các bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
- Do đó, \(IE = IF\).

### Phần b: Chứng minh \(AI\) là tia phân giác của góc \(A\)

- Ta đã biết \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), tức là \(I\) là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc \(B\) và \(C\).
- Để chứng minh \(AI\) là tia phân giác của góc \(A\), ta cần chứng minh rằng \(I\) nằm trên đường phân giác của góc \(A\).

- Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACD\):
- \(ID\) vuông góc với \(AB\) tại \(D\).
- \(IE\) vuông góc với \(AC\) tại \(E\).

- Do \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), các đoạn thẳng \(ID\), \(IE\), và \(IF\) đều là các bán kính của đường tròn nội tiếp này.
- Vì vậy, các điểm \(D\), \(E\), và \(F\) là các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với các cạnh của tam giác \(ABC\).

- Theo tính chất của đường tròn nội tiếp, các đoạn thẳng nối từ tâm đường tròn nội tiếp đến các điểm tiếp xúc chia các góc của tam giác thành hai phần bằng nhau.
- Do đó, \(AI\) là tia phân giác của góc \(A\).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán:
a) \(ID = IF\) và \(IE = IF\).
b) \(AI\) là tia phân giác của góc \(A\).