Để tìm số nghiệm của phương trình \(\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1\) trong khoảng \(\pi \leq x \leq 5\pi\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định điều kiện để \(\cos(y) = 1\)**:
\[
\cos(y) = 1 \implies y = 2k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

2. **Thay \(y\) bằng \(x + \frac{\pi}{4}\)**:
\[
x + \frac{\pi}{4} = 2k\pi \implies x = 2k\pi - \frac{\pi}{4}
\]

3. **Xác định khoảng giá trị của \(x\)**:
\[
\pi \leq x \leq 5\pi
\]

4. **Thay \(x\) vào khoảng giá trị**:
\[
\pi \leq 2k\pi - \frac{\pi}{4} \leq 5\pi
\]

5. **Giải bất phương trình**:
\[
\pi \leq 2k\pi - \frac{\pi}{4} \implies 2k\pi - \frac{\pi}{4} \geq \pi \implies 2k\pi \geq \pi + \frac{\pi}{4} \implies 2k\pi \geq \frac{5\pi}{4} \implies k \geq \frac{5}{8}
\]

\[
2k\pi - \frac{\pi}{4} \leq 5\pi \implies 2k\pi \leq 5\pi + \frac{\pi}{4} \implies 2k\pi \leq \frac{21\pi}{4} \implies k \leq \frac{21}{8}
\]

6. **Xác định giá trị nguyên của \(k\)**:
\[
\frac{5}{8} \leq k \leq \frac{21}{8}
\]

Giá trị nguyên của \(k\) trong khoảng này là \(k = 1, 2\).

7. **Tìm số nghiệm**:
Với \(k = 1\):
\[
x = 2 \cdot 1 \cdot \pi - \frac{\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}
\]

Với \(k = 2\):
\[
x = 2 \cdot 2 \cdot \pi - \frac{\pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}
\]

Vậy, phương trình \(\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1\) có 2 nghiệm trong khoảng \(\pi \leq x \leq 5\pi\).