Cho hình bình hành ABCD, I thuộc AC, DI cắt AB tại M và cắt CB tại N. Chúng ta sẽ giải quyết các câu hỏi theo thứ tự.

### a) So sánh AM/AB; CB/CN; DM/DN

Để so sánh các tỉ lệ này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và các định lý liên quan đến tam giác đồng dạng.

1. **So sánh AM/AB:**

Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Giả sử I là một điểm bất kỳ trên AC, khi đó DI cắt AB tại M và cắt CB tại N.

- Vì I thuộc AC, ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với đường thẳng cắt DI:
\[
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{ND} \cdot \frac{DI}{IA} = 1
\]
- Trong hình bình hành, AB = CD và AD = BC.

- Do đó, AM/AB = MB/AB = 1 - AM/AB.

2. **So sánh CB/CN:**

- Tương tự, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với đường thẳng cắt DI:
\[
\frac{CN}{NB} \cdot \frac{BM}{MD} \cdot \frac{DI}{IC} = 1
\]
- Vì CB = AD, ta có CB/CN = NB/CN = 1 - CB/CN.

3. **So sánh DM/DN:**

- Từ định lý Menelaus cho tam giác ABD và BCD, ta có thể suy ra:
\[
\frac{DM}{DN} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{CB}{CN}
\]

### b) Chứng minh CM = AM * CN không đổi

Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của hình bình hành và các tỉ lệ đã tìm được ở phần a.

- Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.
- Do đó, các tỉ lệ AM/AB và CB/CN là không đổi vì chúng phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên AC.
- Từ đó, ta có thể suy ra rằng tích AM * CN là không đổi.

### c) Chứng minh DI^2 = IM * IN

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp.

- Trong tứ giác nội tiếp, định lý Ptolemy cho biết:
\[
AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC
\]
- Trong trường hợp này, DI là đường chéo của tứ giác nội tiếp AMIN.
- Do đó, ta có:
\[
DI^2 = IM \cdot IN
\]

Tóm lại, chúng ta đã giải quyết các câu hỏi theo thứ tự và sử dụng các định lý hình học để chứng minh các tỉ lệ và đẳng thức cần thiết.