Để tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB và dây AB trong đường tròn có bán kính \( R = 6 \) cm và dây cung \( AB = 6 \) cm, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính độ dài của đoạn thẳng từ tâm \( O \) đến dây cung \( AB \):**
- Gọi \( M \) là trung điểm của dây cung \( AB \). Khi đó, \( OM \) là đường vuông góc từ tâm \( O \) đến dây cung \( AB \).
- Vì \( AB = 6 \) cm, nên \( AM = MB = 3 \) cm.
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OMA \):
\[
OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ cm}
\]

2. **Tính góc \( \theta \) tại tâm \( O \) tạo bởi hai bán kính \( OA \) và \( OB \):**
- Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( OAB \):
\[
\cos(\theta) = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB} = \frac{6^2 + 6^2 - 6^2}{2 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{36 + 36 - 36}{72} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}
\]
- Do đó, \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \) radians.

3. **Tính diện tích hình quạt \( OAB \):**
- Diện tích hình quạt \( OAB \) là:
\[
S_{\text{quạt}} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2
\]

4. **Tính diện tích tam giác \( OAB \):**
- Diện tích tam giác \( OAB \) là:
\[
S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

5. **Tính diện tích hình viên phân:**
- Diện tích hình viên phân là diện tích hình quạt trừ đi diện tích tam giác:
\[
S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{\text{tam giác}} = 6\pi - 9\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung \( AB \) và dây \( AB \) là \( 6\pi - 9\sqrt{3} \) cm².