Để chứng minh \( A, I, H \) thẳng hàng trong tam giác cân \( ABC \) với \( AB = AC \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất của tam giác:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), do đó \( AB = AC \).
- \( BD \) vuông góc với \( AC \) tại \( D \).
- \( CE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \).
- \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \).
- \( H \) là trung điểm của \( BC \).

2. **Chứng minh \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \):**
- Vì \( AB = AC \), tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên đường cao từ \( A \) xuống \( BC \) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của góc \( BAC \).
- Do đó, \( H \) là trung điểm của \( BC \) và cũng là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).

3. **Chứng minh \( I \) là trực tâm của tam giác \( ABC \):**
- \( BD \) vuông góc với \( AC \) tại \( D \), nên \( BD \) là đường cao của tam giác \( ABC \).
- \( CE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \), nên \( CE \) là đường cao của tam giác \( ABC \).
- Giao điểm của hai đường cao \( BD \) và \( CE \) là trực tâm \( I \) của tam giác \( ABC \).

4. **Chứng minh \( A, I, H \) thẳng hàng:**
- Trong tam giác cân \( ABC \), đường cao từ đỉnh \( A \) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.
- Do đó, đường cao từ \( A \) xuống \( BC \) (đi qua \( H \)) cũng đi qua trực tâm \( I \).
- Vì vậy, \( A, I, H \) thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( A, I, H \) thẳng hàng trong tam giác cân \( ABC \).