Để giải các tam giác vuông tại A, ta sẽ sử dụng các định lý lượng giác cơ bản như định lý Pythagore và các hàm lượng giác sin, cos, tan.

**Bài 3: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:**
a) \(BC = 10cm\) và \(\angle C = 30^\circ\).

Trong tam giác vuông, ta có:
- \(\sin C = \frac{AB}{BC}\)
- \(\cos C = \frac{AC}{BC}\)
- \(\tan C = \frac{AB}{AC}\)

Với \(\angle C = 30^\circ\), ta có:
- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Do đó:
- \(AB = BC \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5cm\)
- \(AC = BC \cdot \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}cm\)

Vậy, \(AB = 5cm\) và \(AC = 5\sqrt{3}cm\).

b) \(AB = 12cm\) và \(\angle B = 45^\circ\).

Trong tam giác vuông, ta có:
- \(\sin B = \frac{AC}{BC}\)
- \(\cos B = \frac{AB}{BC}\)
- \(\tan B = \frac{AC}{AB}\)

Với \(\angle B = 45^\circ\), ta có:
- \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Do đó:
- \(BC = \frac{AB}{\cos 45^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}cm\)
- \(AC = AB \cdot \tan 45^\circ = 12 \cdot 1 = 12cm\)

Vậy, \(BC = 12\sqrt{2}cm\) và \(AC = 12cm\).

**Bài 4: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:**
a) \(BC = 15cm\) và \(\angle C = 60^\circ\).

Trong tam giác vuông, ta có:
- \(\sin C = \frac{AB}{BC}\)
- \(\cos C = \frac{AC}{BC}\)
- \(\tan C = \frac{AB}{AC}\)

Với \(\angle C = 60^\circ\), ta có:
- \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)

Do đó:
- \(AB = BC \cdot \sin 60^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}cm\)
- \(AC = BC \cdot \cos 60^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5cm\)

Vậy, \(AB = \frac{15\sqrt{3}}{2}cm\) và \(AC = 7.5cm\).

b) \(AB = 5\sqrt{2}cm\) và \(\angle C = 45^\circ\).

Trong tam giác vuông, ta có:
- \(\sin C = \frac{AB}{BC}\)
- \(\cos C = \frac{AC}{BC}\)
- \(\tan C = \frac{AB}{AC}\)

Với \(\angle C = 45^\circ\), ta có:
- \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Do đó:
- \(BC = \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10cm\)
- \(AC = AB \cdot \tan 45^\circ = 5\sqrt{2} \cdot 1 = 5\sqrt{2}cm\)

Vậy, \(BC = 10cm\) và \(AC = 5\sqrt{2}cm\).

c) \(AC = 20cm\) và \(\angle B = 35^\circ\).

Trong tam giác vuông, ta có:
- \(\sin B = \frac{AC}{BC}\)
- \(\cos B = \frac{AB}{BC}\)
- \(\tan B = \frac{AC}{AB}\)

Với \(\angle B = 35^\circ\), ta có:
- \(\sin 35^\circ \approx 0.5736\)
- \(\cos 35^\circ \approx 0.8192\)

Do đó:
- \(BC = \frac{AC}{\sin 35^\circ} = \frac{20}{0.5736} \approx 34.87cm\)
- \(AB = BC \cdot \cos 35^\circ = 34.87 \cdot 0.8192 \approx 28.57cm\)

Vậy, \(BC \approx 34.87cm\) và \(AB \approx 28.57cm\).