Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình thang cân và các định lý hình học cơ bản.

### Bài 1:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh AD và BC.

#### a) Chứng minh OA = OB và OC = OD

**Chứng minh:**

- Trong hình thang cân ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
- Do ABCD là hình thang cân, nên hai đường chéo AC và BD chia nhau thành các đoạn thẳng bằng nhau tại điểm O.

Cụ thể:
- \( \triangle AOB \) và \( \triangle COD \) là hai tam giác đồng dạng (vì chúng có các góc tương ứng bằng nhau do tính chất của hình thang cân).
- Do đó, \( OA = OB \) và \( OC = OD \).

#### b) Chứng minh EO là đường trung trực của hai đáy hình thang ABCD

**Chứng minh:**

- Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
- Vì ABCD là hình thang cân, nên M và N nằm trên đường trung trực của AB và CD.
- Đường thẳng EO đi qua O (giao điểm của hai đường chéo) và E (giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh AD và BC).
- Do O là trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh của hình thang cân, nên EO cũng là đường trung trực của AB và CD.

### Bài 2:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, đường chéo DB vuông góc với BC, DB là phân giác góc D. Tính chu vi của hình thang biết BC = 3 cm.

**Giải:**

- Gọi \( AB = a \), \( CD = b \), và \( AD = BC = c \).
- Vì DB là phân giác của góc D và vuông góc với BC, nên tam giác \( \triangle DBC \) là tam giác vuông cân tại B.
- Do đó, \( DB = BC = 3 \) cm.

Vì ABCD là hình thang cân, nên:
- \( AD = BC = 3 \) cm.

Chu vi của hình thang ABCD là:
\[ P = AB + BC + CD + DA \]

Do \( AB \) và \( CD \) là hai đáy của hình thang cân và \( AD = BC \), ta có:
\[ P = a + 3 + b + 3 \]

Tuy nhiên, để tính chính xác chu vi, ta cần biết độ dài của hai đáy \( AB \) và \( CD \). Nếu không có thông tin thêm về độ dài của \( AB \) và \( CD \), ta chỉ có thể biểu diễn chu vi dưới dạng tổng quát:
\[ P = a + b + 6 \]

Nếu có thêm thông tin về độ dài của \( AB \) và \( CD \), ta có thể thay vào để tính chu vi cụ thể.