Để tính biểu thức \( C = \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ + \cdots + \cos^2 80^\circ + \cos^2 90^\circ \), ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của hàm số cosin và một số công thức lượng giác.

Đầu tiên, ta có công thức:
\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \]

Áp dụng công thức này cho từng góc trong biểu thức, ta có:
\[ \cos^2 10^\circ = \frac{1 + \cos 20^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 20^\circ = \frac{1 + \cos 40^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 30^\circ = \frac{1 + \cos 60^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 40^\circ = \frac{1 + \cos 80^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 50^\circ = \frac{1 + \cos 100^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 60^\circ = \frac{1 + \cos 120^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 70^\circ = \frac{1 + \cos 140^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 80^\circ = \frac{1 + \cos 160^\circ}{2} \]
\[ \cos^2 90^\circ = \frac{1 + \cos 180^\circ}{2} \]

Lưu ý rằng:
\[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]
\[ \cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \]
\[ \cos 140^\circ = \cos (180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ \]
\[ \cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ \]
\[ \cos 180^\circ = -1 \]

Do đó, các giá trị cosin của các góc đối xứng quanh 90° sẽ triệt tiêu nhau khi cộng lại. Chỉ còn lại các giá trị của cosin của các góc không đối xứng.

Tổng các giá trị cosin của các góc từ 10° đến 80° sẽ triệt tiêu nhau, và chỉ còn lại:
\[ \cos^2 90^\circ = \frac{1 + \cos 180^\circ}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \]

Tổng các giá trị còn lại là:
\[ \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ + \cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ + \cos^2 60^\circ + \cos^2 70^\circ + \cos^2 80^\circ + \cos^2 90^\circ = 4.5 \]

Vậy, giá trị của biểu thức \( C \) là:
\[ C = 4.5 \]