Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \( (x-2)(5y + 1) = 12 \), chúng ta cần xem xét các cặp số nguyên \( (x, y) \) sao cho phương trình này được thỏa mãn.

Bước 1: Phân tích 12 thành các tích của hai số nguyên:
- \( 12 = 1 \times 12 \)
- \( 12 = (-1) \times (-12) \)
- \( 12 = 2 \times 6 \)
- \( 12 = (-2) \times (-6) \)
- \( 12 = 3 \times 4 \)
- \( 12 = (-3) \times (-4) \)
- \( 12 = 4 \times 3 \)
- \( 12 = (-4) \times (-3) \)
- \( 12 = 6 \times 2 \)
- \( 12 = (-6) \times (-2) \)
- \( 12 = 12 \times 1 \)
- \( 12 = (-12) \times (-1) \)

Bước 2: Với mỗi cặp số nguyên \( (a, b) \) sao cho \( a \times b = 12 \), ta đặt:
- \( x - 2 = a \)
- \( 5y + 1 = b \)

Từ đó, ta có:
- \( x = a + 2 \)
- \( y = \frac{b - 1}{5} \)

Bây giờ, ta kiểm tra từng cặp \( (a, b) \):

1. \( (1, 12) \):
- \( x = 1 + 2 = 3 \)
- \( y = \frac{12 - 1}{5} = \frac{11}{5} \) (không phải số nguyên)

2. \( (-1, -12) \):
- \( x = -1 + 2 = 1 \)
- \( y = \frac{-12 - 1}{5} = \frac{-13}{5} \) (không phải số nguyên)

3. \( (2, 6) \):
- \( x = 2 + 2 = 4 \)
- \( y = \frac{6 - 1}{5} = 1 \) (là số nguyên)
- Nghiệm: \( (x, y) = (4, 1) \)

4. \( (-2, -6) \):
- \( x = -2 + 2 = 0 \)
- \( y = \frac{-6 - 1}{5} = -\frac{7}{5} \) (không phải số nguyên)

5. \( (3, 4) \):
- \( x = 3 + 2 = 5 \)
- \( y = \frac{4 - 1}{5} = \frac{3}{5} \) (không phải số nguyên)

6. \( (-3, -4) \):
- \( x = -3 + 2 = -1 \)
- \( y = \frac{-4 - 1}{5} = -1 \) (là số nguyên)
- Nghiệm: \( (x, y) = (-1, -1) \)

7. \( (4, 3) \):
- \( x = 4 + 2 = 6 \)
- \( y = \frac{3 - 1}{5} = \frac{2}{5} \) (không phải số nguyên)

8. \( (-4, -3) \):
- \( x = -4 + 2 = -2 \)
- \( y = \frac{-3 - 1}{5} = -\frac{4}{5} \) (không phải số nguyên)

9. \( (6, 2) \):
- \( x = 6 + 2 = 8 \)
- \( y = \frac{2 - 1}{5} = \frac{1}{5} \) (không phải số nguyên)

10. \( (-6, -2) \):
- \( x = -6 + 2 = -4 \)
- \( y = \frac{-2 - 1}{5} = -\frac{3}{5} \) (không phải số nguyên)

11. \( (12, 1) \):
- \( x = 12 + 2 = 14 \)
- \( y = \frac{1 - 1}{5} = 0 \) (là số nguyên)
- Nghiệm: \( (x, y) = (14, 0) \)

12. \( (-12, -1) \):
- \( x = -12 + 2 = -10 \)
- \( y = \frac{-1 - 1}{5} = -\frac{2}{5} \) (không phải số nguyên)

Kết luận: Các nghiệm nguyên của phương trình \( (x-2)(5y + 1) = 12 \) là:
- \( (x, y) = (4, 1) \)
- \( (x, y) = (-1, -1) \)
- \( (x, y) = (14, 0) \)