Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

**Phần a: Chứng minh tam giác \( \triangle IKE \) đồng dạng với tam giác \( \triangle IHK \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle DEF \)**:
- \( EH \) và \( FK \) là các đường cao của tam giác \( \triangle DEF \), do đó chúng vuông góc với các cạnh đối diện.
- \( EH \perp DF \) và \( FK \perp DE \).

2. **Xét tam giác \( \triangle IKE \) và \( \triangle IHK \)**:
- \( I \) là giao điểm của hai đường cao \( EH \) và \( FK \), do đó \( I \) là trực tâm của tam giác \( \triangle DEF \).
- \( \angle IKE \) và \( \angle IHK \) đều là góc vuông (vì \( EH \) và \( FK \) là các đường cao).

3. **Góc \( \angle EIK \) và \( \angle HIK \)**:
- Vì \( I \) là trực tâm, các góc \( \angle EIK \) và \( \angle HIK \) là các góc đối đỉnh, do đó chúng bằng nhau.

4. **Kết luận**:
- Tam giác \( \triangle IKE \) và \( \triangle IHK \) có hai góc bằng nhau (\(\angle IKE = \angle IHK = 90^\circ\) và \(\angle EIK = \angle HIK\)).
- Do đó, \( \triangle IKE \) đồng dạng với \( \triangle IHK \) theo trường hợp góc-góc (AA).

**Phần b: Chứng minh tam giác \( \triangle DHK \) đồng dạng với tam giác \( \triangle DKF \) và góc \( \angle DKH = \angle DFE \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle DHK \) và \( \triangle DKF \)**:
- \( EH \perp DF \) và \( FK \perp DE \), do đó \( \angle DHK \) và \( \angle DKF \) đều là góc vuông.

2. **Góc \( \angle HDK \) và \( \angle KDF \)**:
- Cả hai góc này đều là góc chung của tam giác \( \triangle DHK \) và \( \triangle DKF \).

3. **Kết luận**:
- Tam giác \( \triangle DHK \) và \( \triangle DKF \) có hai góc bằng nhau (\(\angle DHK = \angle DKF = 90^\circ\) và \(\angle HDK = \angle KDF\)).
- Do đó, \( \triangle DHK \) đồng dạng với \( \triangle DKF \) theo trường hợp góc-góc (AA).

4. **Chứng minh góc \( \angle DKH = \angle DFE \)**:
- Từ tính chất đồng dạng của tam giác \( \triangle DHK \) và \( \triangle DKF \), ta có \( \angle DKH = \angle DKF \).
- Do \( FK \perp DE \), \( \angle DKF \) là góc giữa đường cao \( FK \) và cạnh \( DE \), tương đương với góc \( \angle DFE \) trong tam giác \( \triangle DEF \).

5. **Kết luận cuối cùng**:
- \( \angle DKH = \angle DFE \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.