Để tính các tỉ số lượng giác của góc C trong tam giác ABC vuông tại A, trước tiên ta cần xác định các cạnh của tam giác dựa trên thông tin đã cho.

Ta biết rằng:
\[ \tan B = \frac{đối}{kề} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{5} \]

Giả sử \( AB = 5k \) và \( BC = 12k \) với \( k \) là một hằng số dương.

Do tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh AC:
\[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{(12k)^2 - (5k)^2} = \sqrt{144k^2 - 25k^2} = \sqrt{119k^2} = \sqrt{119}k \]

Bây giờ, ta có các cạnh của tam giác ABC:
- \( AB = 5k \)
- \( BC = 12k \)
- \( AC = \sqrt{119}k \)

Tiếp theo, ta sẽ tính các tỉ số lượng giác của góc C. Trong tam giác vuông, góc C là góc phụ của góc B, do đó:
\[ \sin C = \cos B \]
\[ \cos C = \sin B \]
\[ \tan C = \cot B \]

Từ \( \tan B = \frac{12}{5} \), ta có:
\[ \sin B = \frac{đối}{huyền} = \frac{BC}{BC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13} \]
\[ \cos B = \frac{kề}{huyền} = \frac{AB}{BC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13} \]

Do đó, các tỉ số lượng giác của góc C là:
\[ \sin C = \cos B = \frac{5}{13} \]
\[ \cos C = \sin B = \frac{12}{13} \]
\[ \tan C = \cot B = \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} \]

Vậy các tỉ số lượng giác của góc C là:
\[ \sin C = \frac{5}{13} \]
\[ \cos C = \frac{12}{13} \]
\[ \tan C = \frac{5}{12} \]