Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và các tính chất của vectơ.

a) Tính \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):

Ta có công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta
\]
Với \(\theta\) là góc giữa hai vectơ, \(|\vec{a}| = 1\) và \(|\vec{b}| = 1\), và \(\theta = 45^\circ\).

Do đó:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

b) Tính \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})\):

Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng:
\[
(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3\vec{b} \cdot \vec{a} - 6\vec{b} \cdot \vec{b}
\]

Ta biết rằng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1
\]
\[
\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1
\]
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Do đó:
\[
(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 = 1 - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - 6
\]
\[
= 1 - 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = -5 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

c) Tính \((\vec{a} + \vec{b})^2\):

Ta có:
\[
(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}
\]

Do đó:
\[
(\vec{a} + \vec{b})^2 = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 + \sqrt{2} + 1 = 2 + \sqrt{2}
\]

Vậy, kết quả của các phần là:
a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
b) \((\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \((\vec{a} + \vec{b})^2 = 2 + \sqrt{2}\)