Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức cơ bản của chuyển động đều và một số phép toán đại số. Gọi \( S \) là quãng đường từ nhà An đến trường (đơn vị: mét) và \( v \) là tốc độ dự định của An (đơn vị: m/s).

1. **Tính quãng đường và tốc độ dự định:**

- Thời gian dự định đi từ nhà đến trường là 30 phút, tức là \( 30 \times 60 = 1800 \) giây.
- Khi đi được 15 phút (tức là \( 15 \times 60 = 900 \) giây), xe của An bị hư và mất 5 phút để sửa (tức là \( 5 \times 60 = 300 \) giây).
- Sau khi sửa xe, An tăng tốc độ thêm 1 m/s để đến trường đúng giờ.

Gọi \( t_1 \) là thời gian An đã đi trước khi xe hư (900 giây), \( t_2 \) là thời gian An đi sau khi sửa xe (tổng thời gian còn lại là \( 1800 - 900 - 300 = 600 \) giây).

- Quãng đường An đã đi trước khi xe hư là \( S_1 = v \times t_1 = v \times 900 \).
- Quãng đường còn lại An phải đi sau khi sửa xe là \( S_2 = S - S_1 = S - 900v \).

Sau khi sửa xe, An đi với tốc độ \( v + 1 \) m/s trong thời gian \( t_2 = 600 \) giây:
\[
S_2 = (v + 1) \times 600
\]

Từ đó, ta có phương trình:
\[
S - 900v = 600(v + 1)
\]

Giải phương trình này:
\[
S - 900v = 600v + 600
\]
\[
S = 1500v + 600
\]

Ta biết rằng \( S = v \times 1800 \) (vì An dự định đi trong 1800 giây với tốc độ \( v \)):
\[
v \times 1800 = 1500v + 600
\]
\[
1800v - 1500v = 600
\]
\[
300v = 600
\]
\[
v = 2 \text{ m/s}
\]

Thay \( v = 2 \) vào phương trình \( S = 1500v + 600 \):
\[
S = 1500 \times 2 + 600
\]
\[
S = 3000 + 600
\]
\[
S = 3600 \text{ m}
\]

Vậy, quãng đường từ nhà An đến trường là 3600 mét và tốc độ dự định của An là 2 m/s.