Để chứng minh các biểu thức trên đúng với mọi số nguyên \( n \), ta sẽ biến đổi và đơn giản hóa từng biểu thức một.

### a) \((n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2 = 5\)

Ta phân tích biểu thức:
\[
(n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2
\]

Mở rộng biểu thức:
\[
(n^2 + 3n - 1)(n + 2) = n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n - 2 = n^3 + 5n^2 + 5n - 2
\]

Trừ \( n^3 \) và cộng 2:
\[
n^3 + 5n^2 + 5n - 2 - n^3 + 2 = 5n^2 + 5n
\]

Do đó, biểu thức này không bằng 5 với mọi số nguyên \( n \). Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm điều kiện.

### b) \(\frac{(6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)}{2}\)

Ta phân tích biểu thức:
\[
(6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
\]

Mở rộng biểu thức:
\[
(6n + 1)(n + 5) = 6n^2 + 30n + n + 5 = 6n^2 + 31n + 5
\]
\[
(3n + 5)(2n - 1) = 6n^2 - 3n + 10n - 5 = 6n^2 + 7n - 5
\]

Trừ hai biểu thức:
\[
6n^2 + 31n + 5 - (6n^2 + 7n - 5) = 6n^2 + 31n + 5 - 6n^2 - 7n + 5 = 24n + 10
\]

Chia cho 2:
\[
\frac{24n + 10}{2} = 12n + 5
\]

Do đó, biểu thức này không bằng 2 với mọi số nguyên \( n \). Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm điều kiện.

### c) \(\frac{(n + 1)(n - 1) - (n - 5)(n - 7)}{12}\)

Ta phân tích biểu thức:
\[
(n + 1)(n - 1) - (n - 5)(n - 7)
\]

Mở rộng biểu thức:
\[
(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1
\]
\[
(n - 5)(n - 7) = n^2 - 12n + 35
\]

Trừ hai biểu thức:
\[
n^2 - 1 - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35 = 12n - 36
\]

Chia cho 12:
\[
\frac{12n - 36}{12} = n - 3
\]

Do đó, biểu thức này không bằng 12 với mọi số nguyên \( n \). Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm điều kiện.

### d) \((n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2 = 5\)

Biểu thức này giống với biểu thức a), nên kết quả tương tự như trên.

### e) \(\frac{(6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)}{2}\)

Biểu thức này giống với biểu thức b), nên kết quả tương tự như trên.

Tóm lại, có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần thêm điều kiện để các biểu thức trên đúng với mọi số nguyên \( n \).