Để giải bài toán, chúng ta áp dụng một số phương pháp hình học và kiến thức về đặc điểm của tam giác.

Đầu tiên, ta có tam giác \( ABC \) với chu vi \( P = AB + AC + BC = 16 \) cm. Hãy gọi \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). Từ đó, ta có:

\[
c + b + a = 16
\]

Ngoại tiếp của tam giác \( ABC \) có tâm là \( O \) và bán kính là \( r \). Hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp này song song với cạnh \( BC \) sẽ cắt \( AB \) và \( AC \) tại điểm \( M \) và \( N \).

### Bước 1: Sử dụng định lý

Khi hai tiếp tuyến từ điểm ngoài cắt hai cạnh của tam giác, khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác sẽ là bằng nhau, tức là độ dài \( MN \) sẽ là max khi \( MN \) song song với \( BC \).

### Bước 2: Tính độ dài của MN

Độ dài của đoạn thẳng \( MN \) sẽ phụ thuộc vào độ dài của cạnh \( BC \) và chiều cao từ \( A \) đến \( BC \). Theo định lý chiều cao trong tam giác, chiều cao tối đa từ điểm \( A \) đến cạnh \( BC \) trong một tam giác có chu vi cố định xảy ra khi nó là tam giác đều.

### Bước 3: Giả định tam giác đều

Trong trường hợp tối ưu, ta giả định tam giác \( ABC \) là tam giác đều. Gọi độ dài của ba cạnh tam giác đều là \( a \):

\[
AB = AC = BC = a
\]

Vì tam giác đều có chu vi là \( 3a \), suy ra:

\[
3a = 16 \implies a = \frac{16}{3} \text{ cm}
\]

Từ đó, chiều dài \( MN \) sẽ chỉ phụ thuộc vào độ dài cạnh \( BC \) với điều kiện \( MN \) là lớn nhất.

### Bước 4: Tối đa hóa độ dài của BC

Do \( MN \) song song với \( BC \) và bằng với chiều cao từ \( A \) tới cạnh \( BC \), nên độ dài \( BC \) sẽ lớn nhất tại vị trí tam giác đều:

\[
BC_{\text{max}} = a = \frac{16}{3} \text{ cm}
\]

### Kết luận

Để đoạn thẳng \( MN \) đạt giá trị lớn nhất, chiều dài cạnh \( BC \) cần phải là:

\[
BC = \frac{16}{3} \text{ cm} \approx 5.33 \text{ cm}
\]

Đây là độ dài của cạnh \( BC \) để \( MN \) đạt giá trị lớn nhất trong tam giác \( ABC \) với chu vi 16 cm.