### Hình Vẽ
Dưới đây là hình vẽ minh họa cho bài toán:

```
A
/ \
/ \
/ \
D /-------\ E
/ \ / \
/ \ / \
B-----M-----C
```
Trong đó, tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \), đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \) được vẽ từ các đỉnh tương ứng.

### Chứng Minh

#### a) Chứng Minh: \( \triangle AED \) cân tại \( A \)
Do tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \):

- \( AB = AC \)
- Đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \) là đường phân giác.
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \).

Ta có:
- \( D \) là trung điểm của \( AC \)
- \( E \) là trung điểm của \( AB \)

Xét tam giác \( \triangle AED \):
- \( AD = AE \) (vì D và E là trung điểm của AC và AB)

Vậy tam giác \( \triangle AED \) là tam giác cân tại \( A \).

#### b) Chứng Minh: \( \triangle ABD \) = \( \triangle ACE \)
- \( AB = AC \) (giả thiết tam giác cân tại A)
- \( AD \) chung
- \( BD \) và \( CE \) là trung tuyến (theo giả thiết thì trung tuyến trong tam giác cân tại A là bằng nhau)

Vậy \( \triangle ABD = \triangle ACE \) (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh)

#### c) Chứng Minh: \( DE \parallel BC \)
- Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( AB \).

Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
- Đoạn thẳng nối các trung điểm của hai cạnh của một tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh đó.

Vậy \( DE \parallel BC \).

#### d) Chứng Minh: Tứ giác \( BCDE \) là hình thang cân
- Ta đã có \( DE \parallel BC \) (chứng minh ở phần c)
- Vì tam giác \( \triangle AED \) cân tại \( A \), độ dài của \( AD \) sẽ bằng với \( AE \)

Do đó, tứ giác \( BCDE \) là hình thang cân vì có hai cạnh đối song song và hai cạnh kề nhau bằng nhau.

### Kết Luận
Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng:
a) \( \triangle AED \) cân tại \( A \)
b) \( \triangle ABD = \triangle ACE \)
c) \( DE \parallel BC \)
d) Tứ giác \( BCDE \) là hình thang cân.