Ta sẽ giải từng bài toán một.

### Bài toán 1:
Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình \( 2\sin x - 1 = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\).

**Giải:**

1. Giải phương trình \( 2\sin x - 1 = 0 \):
\[
2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}
\]
2. Tìm các nghiệm của \( \sin x = \frac{1}{2} \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\):
\[
\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}
\]

Vậy, nghiệm duy nhất trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) là \( x = \frac{\pi}{6} \).

Tổng nghiệm S sẽ là \( \frac{\pi}{6} \).

**Đáp án: C. \( S = \frac{5\pi}{6} \)**

### Bài toán 2:
Số nghiệm trên đoạn \([0; 2\pi]\) của phương trình \( \sin 2x - 2\cos x = 0 \) là:

**Giải:**

1. Đặt \( t = \cos x \), ta có:
\[
\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2t\sqrt{1-t^2}
\]

Phương trình trở thành:
\[
2t\sqrt{1-t^2} - 2t = 0
\]
\[
2t(\sqrt{1-t^2} - 1) = 0
\]

Có 2 trường hợp:
1. \( t = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \)
2. \( \sqrt{1-t^2} = 1 \Rightarrow 1-t^2 = 1 \Rightarrow t^2 = 0 \Rightarrow t = 0 \), thỏa mãn \( \cos x = 0 \)

Trên đoạn \([0; 2\pi]\), \( \cos x = 0 \) có 2 nghiệm \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \).

**Đáp án: C. 2**

### Bài toán 3:
Tìm tất cả các giá trị \( m \) để phương trình \( \sin 2x \cdot \cos 2x + m - 1 = 0 \) có nghiệm.

**Giải:**

1. Điều kiện để \( \sin 2x \cdot \cos 2x + m - 1 = 0 \) có nghiệm là:
\[
-1 \leq \sin 2x \cdot \cos 2x \leq 1
\]
\[
Với \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x \]
Do đó:
\[
-1 \leq \frac{1}{2}\sin 4x \leq 1
\]

Mọi giá trị của \( m \) phải thỏa mãn:
\[
-1 \leq m - 1 \leq 1
\]
Rút gọn:
\[
0 \leq m \leq 2
\]

**Đáp án: D. \( 0 \leq m \leq 2 \)**

### Bài toán 4:
Phương trình \( \sin 2x + 3\cos x = 0 \) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \((0; 2020)\)?

**Giải:**

1. Đặt \( t = \cos x \), ta có:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2t\sqrt{1-t^2}
\]

Phương trình trở thành:
\[
2t\sqrt{1-t^2} + 3t = 0
\]
\[
t (2\sqrt{1-t^2} + 3) = 0
\]

Có 2 trường hợp:
1. \( t = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \, \frac{3\pi}{2}, \ldots \)
-> nghiệm lặp lại với chu kỳ \( \pi \)

Như vậy trong khoảng \((0; 2020)\):
\[
\frac{2020}{\pi} \approx 642.225
\Rightarrow 644 nghiệm
\]

**Đáp án: A. 644**

### Bài toán 5:
Tìm số nghiệm của phương trình \( \sin(\cos 2x) = 0 \) trên \([0; 2\pi]\).

**Giải:**

1. Điều kiện để \( \sin(\cos 2x) = 0 \) là:
\[
\cos 2x = n\pi
\]

2. Điều kiện để có nghiệm:
\[
-1 ≤ cos 2x ≤ 1
\]

\[
\cos 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}\]

Kiểm tra các giá trị \( x \) phù hợp trên \([0; 2\pi]\),

\[
Tổng số nghiệm = 3
\]

**Đáp án: D. 3**