Để rút gọn biểu thức \( A \):

\[ A = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} + x + 1, \quad \text{(x > 0)} \]

Bạn cần phải quy đồng mẫu hai phân số đầu tiên và sau đó thực hiện các phép toán. Đây là các bước chi tiết:

1. Trước tiên, xem các mẫu số:
\[ x + \sqrt{x} + 1 \]
\[ x - \sqrt{x} + 1 \]

Mẫu số chung là:
\[ (x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \]

2. Quy đồng mẫu số của hai phân số:

\[ \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{(x^2 - \sqrt{x})(x - \sqrt{x} + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

\[ \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} = \frac{(x^2 + \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

3. Tính toán phân số đầu tiên:

\[ (x^2 - \sqrt{x})(x - \sqrt{x} + 1) = x^3 - x^2\sqrt{x} + x^2 - x \sqrt{x} + \sqrt{x} \]
\[ = x^3 - x^2\sqrt{x} + x^2 - x\sqrt{x} - \sqrt{x} \]

Tính toán phân số thứ hai:

\[ (x^2 + \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1) = x^3 + x^2\sqrt{x} + x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} \]
\[ = x^3 + x^2\sqrt{x} + x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} \]

4. Lấy phân số đầu trừ phân số thứ hai:

\[ \frac{(x^3 - x^2\sqrt{x} + x^2 - x\sqrt{x} - \sqrt{x}) - (x^3 + x^2\sqrt{x} + x^2 + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x})}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

Khi trừ đi bạn sẽ thu được:
\[ = \frac{-2 x \sqrt{x} - 2 \sqrt{x}}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

5. Đơn giản trong tử:

\[ = \frac{-2 x \sqrt{x} - 2 \sqrt{x}}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

\[ = \frac{-2 \sqrt{x} (x + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} \]

Khi đó:
\[ A = \frac{-2 \sqrt{x} (x + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} + x + 1 \]

Suy ra:

\[ A = - \frac{2 \sqrt{x} (x + 1)}{(x + \sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)} + x + 1 \]

Đây là kết quả sau khi biểu thức đã rút gọn tới mức tối đa có thể.