Để tìm giá trị nguyên \(n\) sao cho \( A = \frac{8n + 193}{4n + 3} \) là một số nguyên, ta có thể xét bài toán theo các bước sau:

Giả sử \( A \) là một số nguyên, tức là:
\[ \frac{8n + 193}{4n + 3} = k \]
với \( k \) là một số nguyên nào đó.

Ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình trên:
\[ 8n + 193 = k(4n + 3) \]
\[ 8n + 193 = 4kn + 3k \]
Chuyển các số hạng có \( n \) về một vế và các số khác về vế kia:
\[ 8n - 4kn = 3k - 193 \]
\[ 4n(2 - k) = 3k - 193 \]
\[ n = \frac{3k - 193}{4(2 - k)} \]

Ta cần \( n \) là một số nguyên, điều này có nghĩa là mẫu số \( 4(2 - k) \) phải chia hết mẫu số \( 3k - 193 \).

Xét các giá trị của \( k \) vì \( k \) là một số nguyên, ta có:
\[ 4(2 - k) \]

Kiểm tra các giá trị lận cận của \( k \):

**Ví dụ với \( k = 1 \):**
\[ n = \frac{3(1) - 193}{4(2 - 1)} = \frac{3 - 193}{4} = \frac{-190}{4} = -47.5 \] (Không nguyên)

**Ví dụ với \( k = 2 \):**
\[ n = \frac{3(2) - 193}{4(2 - 2)} \] là không xác định (mẫu số bằng không).

**Ví dụ với \( k = 3 \):**
\[ n = \frac{3(3) - 193}{4(2 - 3)} = \frac{9 - 193}{4(-1)} = \frac{-184}{-4} = 46 \] (Nguyên)

Thử lại với \( k = 3\):
\[ A = \frac{8(46) + 193}{4(46) + 3} = \frac{368 + 193}{184 + 3} = \frac{561}{187} = 3 \] (Đúng)

Vậy giá trị \( n = 46 \) là thỏa mãn.

Do đó, giá trị nguyên của \( n \) để \( A \) là số nguyên là \( n = 46 \).