Cho các số thực a, b, c có tổng khác 0 thỏa mãn a^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức

Chúng ta có bất đẳng thức sau:
\[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \]

Theo giả thiết, họ ta có:
\[ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \]
Do đó:
\[ (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) = 0 \]

Vì \( a+b+c \neq 0 \) (theo giả thiết), ta có:
\[ a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0 \]

Điều này dẫn đến:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc
\]

Dựa vào bất đẳng thức (hệ số hai bên là không âm), ta có:
\[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 \]

Khi đó, từ (1) có:
\[
a-b = 0, \quad b-c = 0, \quad c-a = 0
\]

Suy ra \( a = b = c \).

Tuy nhiên, vì \( a + b + c \neq 0 \), ta có thể đặt:
\( a = b = c = k \) với \( k \neq 0 \).

Bây giờ, chúng ta tiến hành tính giá trị của biểu thức:
\[
P = a^2 b^2 c^2
\]
Biểu thức này trở thành:
\[
P = k^2 \cdot k^2 \cdot k^2 = k^6
\]

Vì \( k \neq 0 \), \( P \) là một hằng số bất kỳ không âm.

Hơn nữa, khi ta xem xét về việc chia sẻ tổng thể giá trị của các bình phương:
\[
P = b^2 + c^2 + c^2 + a^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Bây giờ, từ tính chất đã có \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc\) và \( a = b = c = k \), ta kiểm tra được:
\[
P = 2ab + 2bc + 2ca = 2(3k^2) = 6k^2
\]

Tuy vậy ta đã phát hiện ra rằng bất cứ giá trị nào của \( a = b = c \) cũng sẽ cùng mang lại cho chúng bài toán:
\[
P = 0
\] (lý do khi k là số đã cho khác không).

Giá trị của P sẽ có thể bằng 0, hoặc thứ khác dừng lại với các biến khái quát hoặc dạng công thức của nó. Chúng ta sẽ không có được khuôn mẫu khắc phục hay thêm sự phức tạp nào cho bài toán tối ưu.

Cuối cùng, tổng quát, ta chỉ có thể nêu:
\[ \boxed{0} \]