Để giải hai phương trình đã cho, chúng ta sẽ làm từng bước cho mỗi phương trình:

### a) \(\sqrt{x^2 - x + 1} = 1\)

**Bước 1:** Bình phương cả hai vế để loại bỏ dấu căn:

\[
x^2 - x + 1 = 1
\]

**Bước 2:** Giải phương trình:

\[
x^2 - x + 1 - 1 = 0 \implies x^2 - x = 0
\]

**Bước 3:** Nhân tố hóa:

\[
x(x - 1) = 0
\]

**Bước 4:** Tìm nghiệm:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1
\]

**Bước 5:** Kiểm tra nghiệm trong phương trình gốc:

- Với \(x = 0\):
\[
\sqrt{0^2 - 0 + 1} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
- Với \(x = 1\):
\[
\sqrt{1^2 - 1 + 1} = \sqrt{1} = 1 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]

**Kết luận:** Nghiệm của phương trình a) là \(x = 0\) và \(x = 1\).

---

### b) \(\sqrt{x^2 + x + 1} = k\)

**Bước 1:** Bình phương cả hai vế:

\[
x^2 + x + 1 = k^2
\]

**Bước 2:** Sắp xếp phương trình:

\[
x^2 + x + (1 - k^2) = 0
\]

**Bước 3:** Tính định thức \(D\) của phương trình bậc hai:

\[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - k^2) = 1 - 4 + 4k^2 = 4k^2 - 3
\]

**Bước 4:** Xác định điều kiện có nghiệm:

- Nếu \(D > 0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Nếu \(D = 0\), phương trình có 1 nghiệm.
- Nếu \(D < 0\), phương trình vô nghiệm.

**Kết luận:** Nghiệm của phương trình b) phụ thuộc vào giá trị của \(k\). Cụ thể:
- Có 2 nghiệm phân biệt nếu \(k < \frac{\sqrt{3}}{2}\) hoặc \(k > \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Có 1 nghiệm nếu \(k = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Không có nghiệm nếu \(|k| < 1\).

Đó là cách giải cho cả hai phương trình.