Để tính tổng các nghiệm của phương trình \( 2019^{x+1} - 2019^x + x^2 - 3x + 2 = 0 \), ta có thể đặt \( 2019^x = t \).

Phương trình trở thành \( 2019t - t + x^2 - 3x + 2 = 0 \), hay \( 2018t + x^2 - 3x + 2 = 0 \).

Từ đây, chúng ta thấy phương trình là hàm số phụ thuộc vào cả \( t \) và \( x \). Để tìm nghiệm, ta cần phân tích kỹ:

1. Hàm \( 2018t = - x^2 + 3x - 2 \) chỉ có nghiệm khi \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \).
2. Phân tích bậc 2: \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \).

Giải bất phương trình:
- Nghiệm là \( x = 1 \) và \( x = 2 \).
- \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \) khi \( x \leq 1 \) hoặc \( x \geq 2 \).

Áp dụng vào phương trình chính:
- Xét các khoảng nghiệm khả thi và tính \( t \):
- Khi \( x = 1: 2019^{1+1} - 2019^1 + 1^2 - 3 + 2 = 0\) ⇒ nghiệm.
- Khi \( x = 2: 2019^{2+1} - 2019^2 + 2^2 - 6 + 2 = 0\) ⇒ nghiệm.

Từ đây, chúng ta có tổng các nghiệm của phương trình \( x_1 + x_2 = 1 + 2 = 3 \).

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình là \( \boxed{3} \).