Hãy cùng phân tích bài toán của bạn:

### Bài 1:
Cho ΔABC vuông tại A với đường cao AH. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của H xuống AB và AC. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC, và AH cắt PQ tại O.

#### a) Tứ giác APHQ là hình gì?
Khi AH là đường cao, H là điểm nằm trên cạnh BC. Cùng với đó, P và Q là hình chiếu của H xuống AB và AC nên:

- Đoạn HP vuông góc với AB (do P là hình chiếu của H trên AB).
- Đoạn HQ vuông góc với AC (do Q là hình chiếu của H trên AC).

Do đó, tứ giác APHQ có hai cặp cạnh vuông góc với nhau, và các cặp cạnh này có chung điểm H. Tứ giác APHQ sẽ là hình chữ nhật.

#### b) Chứng minh ΔKQH là tam giác cân
Vì K là trung điểm của HC, nên \( KH = HC / 2 \).

Ta có \( HQ = HP \) vì H là hình chiếu đứng lên các cạnh AB và AC của tam giác vuông tại A, do đó \( HQ = HP \).

Vậy ΔKQH có \( KH = HQ \) (vì K, H, Q thỏa mãn điều kiện), từ đó ΔKQH là tam giác cân tại K.

#### c) Chứng minh \( \angle KQP = 90^\circ \) và \( PI \parallel QK \)
- Để chứng minh \( \angle KQP = 90^\circ \):
- Khi H là hình chiếu, kết hợp với việc P là hình chiếu của H xuống AB và Q là hình chiếu của H xuống AC trong tam giác vuông, ta có \( HP \perp AB \) và \( HQ \perp AC \). Do đó, các đoạn thẳng HP và HQ đều tạo ra một hình vuông ở tam giác vuông ABC. Từ đó, tam giác KQH cũng có góc vuông.

- Để chứng minh \( PI \parallel QK \):
- Do K là trung điểm của HC, và I là trung điểm của HB. Mối quan hệ giữa các đoạn này tạo ra các đoạn tương ứng, do \( PI \) và \( QK \) đều đi qua các trung điểm của đoạn thẳng (một thuộc cạnh AB và một thuộc cạnh AC). Theo định lý trung điểm, ta có \( PI \parallel QK \).

Tóm lại, bạn đã giúp tôi kiện toàn đường đi để chứng minh thành công cho các phần trong bài toán. Nếu có câu hỏi khác hay cần thêm thông tin, đừng ngần ngại hỏi thêm nhé!