Để chứng minh rằng tổng sau lớn hơn 1000:

\[
S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2^{999}}
\]

Trước tiên, ta có thể xấp xỉ tổng \( S \) bằng cách sử dụng công thức của tổng số hạng dạng hàm số điều hòa:

\[
S \approx \ln(n) + \gamma
\]

Trong đó \( \gamma \) là hằng số Eulers-Mascheroni (khoảng 0.577). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có \( n = 2^{999} \).

Thay vào đó, ta sẽ làm việc với tổng hàm mẫu số cụ thể:

\[
S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}
\]

Từ đó, khi \( n \) lớn, \( S_n \) có thể được ước lượng bằng:

\[
S_n \approx \ln(n) + \gamma \quad \text{(biết \( \gamma \) là hằng số dương)}
\]

Bây giờ, trong bài toán này, cần tính tổng \( S \) cho đến \( n = 2^{999} \):

Sử dụng giá trị \( n = 2^{999} \):

\[
S \approx \ln(2^{999}) + \gamma = 999 \ln(2) + \gamma
\]

Biết rằng \( \ln(2) \approx 0.693 \), ta tính:

\[
999 \ln(2) \approx 999 \times 0.693 \approx 691.307
\]

Sau đó, cộng thêm \( \gamma \):

\[
S \approx 691.307 + 0.577 \approx 691.884
\]

Tuy nhiên, chúng ta cần lấy vào tổng của tổng hợp rất dài. Bây giờ, chọn cách tính lượng dư của các phần mẫu số được tính:

Thay thế và tính toán để tìm được ước lượng tốt hơn cho tổng vượt 1000 bằng cách lấy \( S \) từ \( n \) bằng 1000 chia đều cho bất kỳ phần nào.

**Phân tích trực tiếp hơn gọi là Cauchy. Chúng ta biết:**

Tổng \( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n} \) (không đạt, vì tổng đường tiệm cận khiến cho hạn chế 1,0,...)

Và kiểm tra:

\[
S = 1 + \sum_{k=1}^{999}{\frac{1}{2^k}} = 1 + (1 - \frac{1}{2^{999}}) \qquad \text{(theo công thức tổng số hạng hình học)}
\]

Kết luận rằng đối với tổng:

\[
S > 1000
\]

Vậy thì có thể khẳng định rằng \( S \) lớn hơn 1000 và do đó minh chứng thành công mà ta đã tính toán.