Để chứng minh yêu cầu đã nêu, ta làm như sau:

### a) Chứng minh rằng \( OH \perp AB \):
1. Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( H \) là trung điểm của dây \( AB \).
2. Vẽ hai đoạn thẳng \( OA \) và \( OB \). Do \( H \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AH = HB \).
3. Xét tam giác \( OHA \) và \( OHB \):
- Có \( OA = OB \) (đều là bán kính).
- Có \( AH = HB \) (do \( H \) là trung điểm).
- Có \( OH \) là đoạn thẳng chung.

4. Từ đó, ta suy ra rằng tam giác \( OHA \) đồng dạng với tam giác \( OHB \) (cùng một góc và cạnh tương ứng).
5. Điều này dẫn đến \( OH \) vuông góc với \( AB \) theo định lý đồng dạng.

### b) Tính khoảng cách từ \( O \) đến \( AB \):
1. Gọi khoảng cách từ \( O \) đến \( AB \) là \( d \).
2. Theo định lý Pytago trong tam giác vuông \( OHA \):
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2
\]
Trong đó:
- \( OA = 5 \, \text{cm} \) (bán kính).
- \( AB = 8 \, \text{cm} \Rightarrow AH = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm} \).

3. Thay vào công thức:
\[
5^2 = d^2 + 4^2
\]
\[
25 = d^2 + 16
\]
\[
d^2 = 25 - 16 = 9
\]
\[
d = 3 \, \text{cm}
\]

### Kết luận
- \( OH \perp AB \) đã được chứng minh.
- Khoảng cách từ \( O \) đến \( AB \) là \( 3 \, \text{cm} \).