Để chứng minh góc \( MHK = PMK \) và hai tam giác \( HMN \) và \( KPM \) là bằng nhau, chúng ta cần sử dụng một vài tính chất hình học của tam giác vuông cân và các đoạn thẳng trong bài toán.

### Bước 1: Xác định các tính chất của tam giác MNP.

Giả sử tam giác \( MNP \) vuông cân tại \( M \), tức là \( MN = MP \) và \( \angle MNP = \angle MPN = 45^\circ \). Điểm \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( NP \), do đó \( NA = AP \).

### Bước 2: Kẻ MB và các đường vuông góc.

Điểm \( B \) nằm giữa \( A \) và \( P \), nên \( AB < AP \).

Kẻ các đường vuông góc \( NH \) và \( PK \) với \( MB \):

1. \( NH \perp MB \) tại \( H \)
2. \( PK \perp MB \) tại \( K \)

### Bước 3: Chứng minh góc \( MHK = PMK \)

Ta sẽ sử dụng tính chất của hai đường vuông góc:

- Vì \( NH \perp MB \) và \( PK \perp MB \), nên các góc \( MHB \) và \( PKB \) là 90 độ.

Bây giờ ta xét tam giác vuông \( MHB \) và tam giác vuông \( PKB \):

- Góc \( MHK = \angle MHB = 90^\circ - \angle BMH \)
- Góc \( PMK = \angle PKB = 90^\circ - \angle BPK \)

Vì \( BH \) là đường vuông góc với \( MB \) và \( BK \) cũng là đường vuông góc với \( MB \), nên:

- \( MHK = 90^\circ - \angle BMH \)
- \( PMK = 90^\circ - \angle BPK \)

### Bước 4: Xét sự tương đồng của tam giác MNH và KPM

- Tam giác \( MHB \) và \( PKB \) đều là tam giác vuông.
- Do \( A \) là trung điểm của \( NP \), nên \( NA = AP \).
- Hai tam giác \( HMN \) và \( KPM \) đều có chung chiều cao từ điểm M xuống cạnh tương ứng. Và cạnh đáy \( NH = PK \) bởi vì \( H \) và \( K \) đều nằm trên đường thẳng \( MB \).

Từ đó, ta có:

\[
\frac{HM}{MN} = \frac{KP}{PN}
\]

=> Tam giác \( HMN \) và \( KPM \) có tỉ lệ chiều cao bằng nhau và đáy bằng nhau, tức là:

\[
\triangle HMN \cong \triangle KPM
\]

### Kết luận:

Từ tất cả các bước trên, chúng ta có thể kết luận rằng:

- \( \angle MHK = \angle PMK \)
- Tam giác \( HMN \) bằng tam giác \( KPM \).

Do đó, ta hoàn thành bài toán chứng minh.