Để tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho giá trị của các biểu thức \( A \) và \( C \) đều là số nguyên, ta sẽ xem xét từng biểu thức.

**Biểu thức A:**

\[
A = \frac{2}{x - 3}
\]

Biểu thức này sẽ là một số nguyên khi mẫu số \( x - 3 \) là một ước số của 2. Các ước số của 2 là \(\pm 1, \pm 2\). Do đó, ta có:

1. \( x - 3 = 1 \) ⇒ \( x = 4 \)
2. \( x - 3 = -1 \) ⇒ \( x = 2 \)
3. \( x - 3 = 2 \) ⇒ \( x = 5 \)
4. \( x - 3 = -2 \) ⇒ \( x = 1 \)

Vậy giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) là số nguyên là \( x = 1, 2, 4, 5 \).

**Biểu thức C:**

\[
C = \frac{3x^3 - 4x + x - 1}{x - 4} = \frac{3x^3 - 3x - 1}{x - 4}
\]

Để \( C \) là số nguyên, phân thức này phải là một số nguyên, tức là \( x - 4 \) phải là một ước của \( 3x^3 - 3x - 1 \). Để kiểm tra điều này, chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức:

Ta thực hiện chia \( 3x^3 - 3x - 1 \) cho \( x - 4 \):

Sử dụng phép chia dài:

1. Chia \( 3x^3 \) cho \( x \) ta được \( 3x^2 \).
2. Nhân \( 3x^2 \) với \( x - 4 \) và trừ đi sẽ thu được:
\[
3x^3 - 12x^2 \Rightarrow -(-12x^2) = 12x^2
\]
3. Tiếp theo, chia \( 12x^2 \) cho \( x \) ta có \( 12x \).
4. Nhân \( 12x \) với \( x - 4 \) và trừ đi:
\[
12x^2 - 48x \Rightarrow -(-48x) = 48x
\]
5. Tiếp tục với việc chia \( 48x - 3x = 45x \), ta được \( 45 \).
6. Lập lại với \( C = 0 \) khi có số dư.

Một cách khác, để cho biểu thức này là số nguyên, phương trình \( 3x^3 - 3x - 1 \) phải có giá trị chia hết cho \( x - 4 \) hoặc \(3x^3 - 3x - 1 = 0\).

Ta có thể thay một số giá trị cho \( x \) từ \( x = 1,2,4,5 \) vào biểu thức \( C \) để tìm xem nó có phải là số nguyên không.

1. Khi \( x = 1 \):
\[
C = \frac{3(1)^3 - 3(1) - 1}{1 - 4} = \frac{3 - 3 - 1}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \text{ (không nguyên)}
\]

2. Khi \( x = 2 \):
\[
C = \frac{3(2)^3 - 3(2) - 1}{2 - 4} = \frac{24 - 6 - 1}{-2} = \frac{17}{-2} = -\frac{17}{2} \text{ (không nguyên)}
\]

3. Khi \( x = 4 \):
\[
C = \text{không xác định (mẫu bằng 0)}
\]

4. Khi \( x = 5 \):
\[
C = \frac{3(5)^3 - 3(5) - 1}{5 - 4} = \frac{375 - 15 - 1}{1} = 375 - 15 - 1 = 359 \text{ (nguyên)}
\]

Dựa vào phân tích trên, ta thấy các giá trị \( x = 5 \) là giá trị nguyên hợp lệ cho cả hai biểu thức \( A \) và \( C \).

Vậy tóm lại, giá trị nguyên của \( x \) để cả hai biểu thức đều là số nguyên là \( x = 5 \).