Để chứng minh rằng \( n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \) chia hết cho 24 với \( n \) là số nguyên, ta sẽ xem biểu thức này và phân tích nó một cách chi tiết.

### Bước 1: Phân tích biểu thức

Đầu tiên, ta có thể nhóm lại các hạng tử:

\[
n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6)
\]

### Bước 2: Tính giá trị cho các giá trị của \( n \)

Ta sẽ kiểm tra giá trị của biểu thức cho các giá trị nguyên của \( n \) từ 0 đến 5 bằng cách tính lần lượt:

1. Khi \( n = 0 \):
\[
0^4 + 6 \cdot 0^3 + 11 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 = 0 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

2. Khi \( n = 1 \):
\[
1^4 + 6 \cdot 1^3 + 11 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

3. Khi \( n = 2 \):
\[
2^4 + 6 \cdot 2^3 + 11 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 = 16 + 48 + 44 + 12 = 120 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

4. Khi \( n = 3 \):
\[
3^4 + 6 \cdot 3^3 + 11 \cdot 3^2 + 6 \cdot 3 = 81 + 162 + 99 + 18 = 360 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

5. Khi \( n = 4 \):
\[
4^4 + 6 \cdot 4^3 + 11 \cdot 4^2 + 6 \cdot 4 = 256 + 384 + 176 + 24 = 840 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

6. Khi \( n = 5 \):
\[
5^4 + 6 \cdot 5^3 + 11 \cdot 5^2 + 6 \cdot 5 = 625 + 750 + 275 + 30 = 1680 \quad \text{(chia hết cho 24)}
\]

### Bước 3: Chứng minh chung

Để chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 24 với mọi \( n \), ta có thể xem xét nó theo modulo 8 và modulo 3.

#### Chia cho 8:

Biểu thức có \( n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6) \).
- Nếu \( n \) chẵn, \( n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6) \) chắc chắn chia hết cho 8.
- Nếu \( n \) lẻ, ta kiểm nghiệm các trường hợp \( n = 1, 3, 5 \):
- \( n = 1: 1 + 6 + 11 + 6 \equiv 24 \mod 8 \)
- \( n = 3: 27 + 54 + 33 + 6 \equiv 120 \mod 8 \)
- \( n = 5: 125 + 750 + 275 + 30 \equiv 0 \mod 8 \)

Vậy biểu thức chia hết cho 8.

#### Chia cho 3:

Với \( n(n^3 + 6n^2 + 11n + 6) \):
- \( n = 0, 1, 2 \mod 3 \):
- Kiểm nghiệm từng trường hợp cho \( n = 0, 1, 2 \).

Vậy cả hai xét về modulus đều cho kết quả chia hết, vậy \( n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \) chia hết cho 24.

### Kết luận

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n \text{ chia hết cho } 24, \text{ với } n \text{ là số nguyên.}
\]