Để giải bài toán này, ta thực hiện theo hai phần a) và b) như sau:

### a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \( A \)

Biểu thức \( A \) được cho là:

\[
A = \frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x}
\]

Để tìm điều kiện xác định của \( A \), ta cần kiểm tra các trường hợp mà mẫu số không được bằng 0.

1. Mẫu số của phân thức đầu \( x + 2 \) phải khác 0:
\[
x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2
\]

2. Mẫu số của phân thức thứ hai \( x \) phải khác 0:
\[
x \neq 0
\]

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức \( A \) là:

\[
x \neq -2 \quad \text{và} \quad x \neq 0
\]

### b) Tìm giá trị của \( x \) để \( A = 2 \)

Ta lập phương trình:

\[
\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x} = 2
\]

Tìm mẫu số chung là \( x(x+2) \):

\[
\frac{x^2}{x(x+2)} + \frac{(x+1)(x+2)}{x(x+2)} = 2
\]

Nên ta có:

\[
\frac{x^2 + (x^2 + 3x + 2)}{x(x+2)} = 2
\]

Hay:

\[
\frac{2x^2 + 3x + 2}{x(x+2)} = 2
\]

Nhân chéo:

\[
2x^2 + 3x + 2 = 2x(x+2)
\]

Giải phương trình:

\[
2x^2 + 3x + 2 = 2x^2 + 4x
\]

Sắp xếp lại:

\[
3x + 2 - 4x = 0 \implies -x + 2 = 0 \implies x = 2
\]

### Kết luận

a) Điều kiện xác định của \( A \) là \( x \neq -2 \) và \( x \neq 0 \).

b) Giá trị của \( x \) để \( A = 2 \) là \( x = 2 \).