Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n(n+3) \) là số chính phương, ta đặt \( n(n+3) = k^2 \) với \( k \) là một số tự nhiên. Từ đó, ta có:

\[
n^2 + 3n - k^2 = 0
\]

Điều kiện để phương trình bậc hai này có nghiệm nguyên là về delta \( \Delta \) phải là một số chính phương. Tính delta:

\[
\Delta = 3^2 + 4k^2 = 9 + 4k^2
\]

Ta cần \( \Delta \) là một số chính phương, tức là:

\[
9 + 4k^2 = m^2
\]

với \( m \) là một số nguyên. Sắp xếp lại, ta có:

\[
m^2 - 4k^2 = 9
\]

Điều này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
(m - 2k)(m + 2k) = 9
\]

Ta sẽ xét tất cả các cặp tích tử của 9, gồm:

- \( (1, 9) \)
- \( (3, 3) \)
- \( (-1, -9) \)
- \( (-3, -3) \)

Từ các cặp trên, ta có thể giải ra \( m \) và \( k \):

1. **Cặp (1, 9)**:
\[
m - 2k = 1 \quad và \quad m + 2k = 9
\]
Giải hệ phương trình này:
\[
2m = 10 \implies m = 5
\]
\[
4k = 8 \implies k = 2
\]

2. **Cặp (3, 3)**:
\[
m - 2k = 3 \quad và \quad m + 2k = 3
\]
Giải hệ phương trình này:
\[
2m = 6 \implies m = 3
\]
\[
4k = 0 \implies k = 0
\]

Sau khi có giá trị của \( k \), ta cần tìm \( n \):

- Với \( k = 2 \):
\[
n^2 + 3n - 4 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 3^2 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt{25} = 5
\]
Nghiệm:
\[
n = \frac{-3 \pm 5}{2}
\]
Hai nghiệm:
\[
n_1 = 1 \quad và \quad n_2 = -4 \, (loại)
\]

- Với \( k = 0 \):
\[
n^2 + 3n = 0 \implies n(n + 3) = 0
\]
Nghiệm:
\[
n = 0 \quad hoặc \quad n = -3 \, (loại)
\]

Vậy, những số tự nhiên \( n \) thỏa mãn là \( n = 1 \).

Kiểm tra:
- Với \( n = 1 \):
\[
1(1 + 3) = 4 \Rightarrow 4 = 2^2 \, (là số chính phương)
\]

Do đó, số tự nhiên \( n \) sao cho \( n(n+3) \) là số chính phương là: **\( n = 1 \)**.