Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước cho câu 15 và câu 17.

### Câu 15:

Cho hai điểm \( A(-2; 4) \) và \( B(8; 4) \). Các điểm A và B có cùng y, tức là nằm trên đường thẳng ngang y = 4.

Để tam giác ABC vuông tại C, C phải nằm trên đường thẳng \( OX \) (trục hoành), tức là có tọa độ dạng \( (x; 0) \). Ta cần tính độ dài AB và tìm điểm C sao cho AC vuông góc với BC.

- Độ dài AB:
\[
AB = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{10^2} = 10
\]

- C nằm trên trục OX, tức là C sẽ có tọa độ dạng \( (x; 0) \). Để tam giác ABC vuông tại C, ta cần:

\[
AC \perp BC \implies (x + 2)(x - 8) + (0 - 4)(0 - 4) = 0
\]

Giải phương trình trên sẽ cho ta tọa độ của C. Cụ thể:

1. Giải:
- Tính đoạn AC và BC.
- Giải thành công thức vuông góc.

Kết quả cần kiểm tra các đáp án cho điểm C.

### Câu 17:

Cho tam giác \( MNP \) vuông tại \( M \) với \( M(2; 1) \) và \( N(\frac{3}{2}; -2) \). Điểm \( P \) nằm trên trục OY (có dạng \( (0; y) \)).

1. Tính độ dài cạnh \( MN \):
\[
MN = \sqrt{(\frac{3}{2} - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-3)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 9} = \sqrt{\frac{37}{4}} = \frac{\sqrt{37}}{2}
\]

2. Tính diện tích tam giác \( MNP \):
- Diện tích \( S \) của tam giác bằng:
\[
S = \frac{1}{2} \times bao \, goc \times base
\]

Do có điểm \( M \) và chiều cao từ \( P \) lên cạnh \( MN \) là \( y_P \).

Giá trị tối đa có thể được tính từ tọa độ đã cho và sử dụng tính chất về diện tích tam giác.

Cuối cùng, sẽ so sánh với các lựa chọn A, B, C, D để chọn đáp án phù hợp.