Để tìm điểm \( P \) trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ \( P \) tới hai điểm \( A(1;2) \) và \( B(3;4) \) là nhỏ nhất, ta có thể tính toán như sau:

1. **Xác định tọa độ của điểm \( P \)**:
Điểm \( P \) có dạng \( P(x; 0) \), vì nó nằm trên trục hoành.

2. **Tính khoảng cách**:
Khoảng cách từ \( P \) tới \( A \) và \( B \) lần lượt là:
- \( d_A = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} \)
- \( d_B = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16} \)

3. **Tổng khoảng cách**:
Tổng khoảng cách từ \( P \) tới \( A \) và \( B \) là:
\[
S(x) = d_A + d_B = \sqrt{(x - 1)^2 + 4} + \sqrt{(x - 3)^2 + 16}
\]

4. **Tìm giá trị cực tiểu**:
Để tìm \( x \) sao cho \( S(x) \) nhỏ nhất, ta có thể sử dụng đạo hàm:
- Tính \( S'(x) \) và đặt \( S'(x) = 0 \) để tìm \( x \).
- Kiểm tra \( S''(x) > 0 \) để xác định đây là điểm cực tiểu.

5. **Phân tích tính toán**:
Thay vì tính toán đạo hàm và giải phương trình, có thể sử dụng phương pháp hình học (sử dụng hình phản xạ). Hình phản xạ của \( B \) qua trục hoành là \( B'(3; -4) \). Tổng khoảng cách từ \( A \) đến \( P \) và từ \( P \) đến \( B \) sẽ được tối thiểu khi \( P \) nằm trên đoạn thẳng nối \( A \) và \( B' \).

6. **Xác định đoạn thẳng**:
Tọa độ của điểm \( P \) được xác định trên đoạn thẳng nối giữa điểm \( A(1; 2) \) và \( B'(3; -4) \). Tìm giao điểm của đoạn thẳng này với trục hoành sẽ cho ra tọa độ của \( P \).

Thực hiện các phép tính cụ thể sẽ cho ra tọa độ \( P \) làm giảm tổng khoảng cách này.