Để phân tích đa thức \(x^3 + 5x^2 + 5x + 4\) thành nhân tử, ta có thể áp dụng phương pháp tìm nghiệm hoặc phương pháp nhóm.

1. **Tìm nghiệm của đa thức**: Ta có thể thử tìm nghiệm bằng phương pháp thay các giá trị \(x\) từ các số nguyên nhỏ (có thể là \(-2, -1, 0, 1, 2\)...) vào để xem có nghiệm nào không.

Thử với \(x = -1\):
\[
(-1)^3 + 5(-1)^2 + 5(-1) + 4 = -1 + 5 - 5 + 4 = 3 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Thử với \(x = -2\):
\[
(-2)^3 + 5(-2)^2 + 5(-2) + 4 = -8 + 20 - 10 + 4 = 6 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Thử với \(x = -4\):
\[
(-4)^3 + 5(-4)^2 + 5(-4) + 4 = -64 + 80 - 20 + 4 = 0 \quad \text{(là nghiệm)}
\]

Vậy \(x + 4\) là một thừa số của đa thức.

2. **Phân tích theo phương pháp chia đa thức**: Áp dụng phép chia đa thức \(x^3 + 5x^2 + 5x + 4\) cho \(x + 4\).

Thực hiện chia:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 5 & 5 & 4 \\
-(-4) & & -4 & -4 & -4 \\
\hline
& 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\]
Kết quả là \(x^2 + x + 1\) với dư \(0\).

3. **Tổng hợp kết quả**: Ta có
\[
x^3 + 5x^2 + 5x + 4 = (x + 4)(x^2 + x + 1)
\]

4. **Kiểm tra đa thức bậc hai**: Đa thức \(x^2 + x + 1\) có delta:
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \quad (\Delta < 0)
\]
Điều này cho thấy \(x^2 + x + 1\) không có nghiệm thực, do đó không phân tích tiếp được.

Vậy, đa thức đã phân tích thành nhân tử là:
\[
\boxed{(x + 4)(x^2 + x + 1)}
\]