Để giải bài toán đã cho, ta bắt đầu từ điều kiện:

\[
(a + b + c)(a + b - c) = 3c^2.
\]

Đặt \( x = a + b \), ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
(x + c)(x - c) = 3c^2.
\]

Mở rộng vế trái:

\[
x^2 - c^2 = 3c^2 \implies x^2 = 4c^2.
\]

Do đó, ta có:

\[
x = 2c \quad \text{(vì } a, b, c \text{ là số dương)}.
\]

Thay \( x \) vào biểu thức \( S \):

\[
S = \frac{a + b + 3c}{c} = \frac{x + 3c}{c} = \frac{2c + 3c}{c} = \frac{5c}{c} = 5.
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{5}.
\]