Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ xem xét các góc và tính chất của tứ giác như sau:

### a) Chứng minh rằng nếu \(\angle BAD = 130^\circ\) và \(\angle BCD = 50^\circ\) thì \(\angle IEF = 90^\circ\):

1. Ta có:
- \(\angle BAD = 130^\circ\)
- \(\angle BCD = 50^\circ\)

2. Một tứ giác có tổng các góc bằng \(360^\circ\), do đó:
\[
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^\circ
\]
- Gọi \(\angle ABC = x\) và \(\angle CDA = y\).
- Ta có:
\[
x + 50^\circ + y + 130^\circ = 360^\circ
\]
- Suy ra:
\[
x + y = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ
\]

3. Từ đó, ta có \(\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ\), tức là các góc đối nhau trong tứ giác ABCD.

4. Tạo đường thẳng \(EF\) cắt nhau tại điểm I, ta có \(\angle EAF\) và \(\angle EBF\) với \(EF\) là đường trung trực của \(\angle AEB\) và \(\angle CFD\), do đó:
- \(\angle EAF + \angle EBF = 180^\circ\)

5. Từ định lý đối xứng, \(\angle IEF\) sẽ tạo ra hai góc vuông với các tia phần giác tại E và F.

### b) Chứng minh rằng góc \(EIF\) bằng nửa tổng của một cặp góc đối của tứ giác ABCD:

1. Dựa vào tính chất của tứ giác, ta biết rằng:
- Tổng của các góc đối là \(180^\circ\).

2. Với điểm I là giao điểm của hai đường thẳng E và F, thì:
\[
\angle EIF = \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle BCD)
\]
- Từ đó, do \(\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ\), suy ra:
\[
\angle EIF = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của bài toán cho tứ giác ABCD.