Để phân tích đa thức \(x^{12} + x^6 + 1\) thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp thế tương đương:

Gọi \(y = x^6\), thì ta có:

\[
x^{12} + x^6 + 1 = y^2 + y + 1
\]

Bây giờ, chúng ta cần phân tích \(y^2 + y + 1\). Để tìm nghiệm của phương trình \(y^2 + y + 1 = 0\), ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = 1\):

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
\]

Vì \(\sqrt{-3} = i\sqrt{3}\) (với \(i\) là đơn vị ảo), ta có:

\[
y = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó, hai nghiệm của \(y^2 + y + 1 = 0\) là:

\[
y_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad y_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]

Dựa vào những nghiệm này, chúng ta có thể viết lại \(y^2 + y + 1\) dưới dạng phân tích:

\[
y^2 + y + 1 = (y - y_1)(y - y_2)
\]

Thay thế \(y\) về lại \(x^6\):

\[
x^{12} + x^6 + 1 = (x^6 - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x^6 - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})
\]

Tuy nhiên, nếu bạn muốn một phân tích thực tế và đơn giản hơn, cần xem lại nguyên lý phân tích đa thức này giúp hiểu rõ hơn. Biểu thức này có thể không phân tích được thành các nhân tử bậc thấp với hệ số thực.

Vậy, kết quả cuối cùng có thể giữ nguyên dưới dạng:

\[
x^{12} + x^6 + 1 = (x^6 - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x^6 - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})
\]

Mà không còn có thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực hơn.