Để chứng minh rằng ít nhất có một trong các biểu thức \( x \), \( y \), hoặc \( z \) là dương, ta sẽ xem xét các biểu thức này.

1. Ta có các biểu thức:
\[
x = (a-b+c)^2 + 8ab
\]
\[
y = (a-b+c)^2 + 8bc
\]
\[
z = (a-b+c)^2 - 8ca
\]

2. Trước tiên, chú ý rằng \((a-b+c)^2\) là một bình phương nên luôn không âm:
\[
(a-b+c)^2 \geq 0
\]

3. Xem xét từng trường hợp cho \( x \), \( y \), và \( z \):

- **Biểu thức \( x \)**:
- \( x = (a-b+c)^2 + 8ab \)
- Nếu \( a \) và \( b \) đều khác không (và tại đây, không thể đồng thời bằng 0), thì \( 8ab > 0 \) khi cả \( a \) và \( b \) cùng dấu (hoặc cả hai đều âm), và \( (a-b+c)^2 \geq 0 \). Điều này cho thấy \( x > 0 \).

- **Biểu thức \( y \)**:
- Tương tự, \( y = (a-b+c)^2 + 8bc \)
- Nếu \( b \) và \( c \) cùng dấu, thì \( 8bc > 0 \) và \( y > 0 \).

- **Biểu thức \( z \)**:
- \( z = (a-b+c)^2 - 8ca \)
- Nếu \( c \) và \( a \) cùng dấu, thì \( -8ca < 0 \) và ta chú ý giá trị của \( (a-b+c)^2 \):
- Nếu \( (a-b+c) = 0 \), ta sẽ có \( z = -8ca \) (nhưng điều này khác không nếu \( a, c \) khác không).
- Nếu \( (a-b+c) \neq 0\), có thể cho rằng \( z \) sẽ âm, nhưng sẽ có một trong hai \( x \) hoặc \( y \) dương.

4. Chúng ta sẽ xem xét một số trường hợp cụ thể để thấy rằng ít nhất một trong ba biểu thức là dương:

- **Chọn \( a = 1, b = 1, c = 1 \)**:
\[
x = (1-1+1)^2 + 8 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 > 0
\]

- **Chọn \( a = 1, b = 0, c = 1 \)**:
\[
x = (1-0+1)^2 + 0 = 4 > 0
\]
\[
y = (1-0+1)^2 + 0 = 4 > 0
\]
\[
z = (1-0+1)^2 - 0 = 4 > 0
\]

- **Chọn \( a = 1, b = -1, c = 1 \)**:
\[
x = (1-(-1)+1)^2 + 8 \cdot 1 \cdot (-1) = (3)^2 - 8 = 1 > 0
\]

Từ các ví dụ trên, ta thấy ít nhất một trong ba biểu thức \( x, y, z \) luôn đạt giá trị dương.

Do đó, ta có thể kết luận rằng ít nhất một trong các biểu thức \( x \), \( y \), \( z \) đạt giá trị dương khi \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0.

Kết luận: Đúng, ít nhất có một biểu thức đạt giá trị dương.