Giải phương trình lượng giác sau:

Để giải phương trình lượng giác:

\[
\cos(4x) = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)
\]

ta có thể sử dụng một số công thức lượng giác. Đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức:

\[
\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1
\]

và các thuộc tính khác của hàm cos.

Bước 1: Áp dụng công thức cos:

\[
\cos(4x) = \cos(2(2x)) = 2\cos^2(2x) - 1
\]

Bước 2: Ghi lại phương trình:

\[
2\cos^2(2x) - 1 = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)
\]

Bước 3: Sử dụng công thức cộng:

\[
\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)
\]

Bước 4: Thay vào phương trình:

\[
2\cos^2(2x) - 1 = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) \right)
\]

Bước 5: Đơn giản hóa phương trình:

\[
2\cos^2(2x) - 1 = \cos(2x) - \sin(2x)
\]

Bước 6: Đặt \( y = \cos(2x) \) và \( \sin(2x) = \sqrt{1-y^2} \):

Sau khi thay thế và sắp xếp lại, bạn sẽ có được một phương trình bậc 2 liên quan đến \( y \). Từ đó, giải phương trình để tìm giá trị của \( y \).

Tiếp theo, từ giá trị của \( y \), tính \( 2x \) và sau đó là \( x \) bằng cách sử dụng các công thức lượng giác:

\[
2x = \arccos(y) \quad \text{hay} \quad 2x = \arcsin(\sqrt{1-y^2})
\]

Cuối cùng, giải cho \( x \) trong khoảng giá trị phù hợp với hàm lượng giác.

Nếu bạn cần thêm hỗ trợ về từng bước cụ thể trong phép giải, hãy cho tôi biết!