Tính giới hạn hàm số lim x->1 √3x+1-2/³√3x+1-2)

Để tính giới hạn của hàm số

\[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{\sqrt[3]{3x + 1} - 2}
\]

Chúng ta sẽ thay giá trị \(x = 1\) vào hàm số.

\[
\sqrt{3 \cdot 1 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0
\]
\[
\sqrt[3]{3 \cdot 1 + 1} - 2 = \sqrt[3]{4} - 2
\]

Như vậy, chúng ta có dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Để giải quyết dạng này, chúng ta cần sử dụng vi phân (hoặc quy tắc L'Hôpital). Tuy nhiên, trước tiên, hãy khai triển các biểu thức dạng lũy thừa này bằng cách trực tiếp.

Đầu tiên, ta có:

\[
\sqrt{3x + 1} = 2 + \frac{(3x + 1) - 4}{2} + O((3x + 1 - 4)^2) = 2 + \frac{3x - 3}{2} + O((x - 1)^2)
\]

Khi \(x\) tiến về 1, \(3x - 3 = 3(x - 1)\):

\[
\sqrt{3x + 1} \approx 2 + \frac{3(x - 1)}{2}
\]

Tương tự cho biểu thức với căn bậc 3:

\[
\sqrt[3]{3x + 1} = 2 + \frac{(3x + 1) - 8}{3 \cdot 2^2} + O((3x + 1 - 8)^2)= 2 + \frac{3(x - 1)}{12} + O((x - 1)^2)
\]

Khi \(x\) tiến về 1, ta có:

\[
\sqrt[3]{3x + 1} \approx 2 + \frac{x - 1}{4}
\]

Bây giờ, ta thay thế vào biểu thức giới hạn:

\[
\lim_{x \to 1} \frac{\left(2 + \frac{3(x - 1)}{2} - 2\right)}{\left(2 + \frac{x - 1}{4} - 2\right)} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{3(x - 1)}{2}}{\frac{x - 1}{4}} = \lim_{x \to 1} \frac{3(x - 1)/2}{(x - 1)/4} = \lim_{x \to 1} \frac{3}{2} \cdot 4 = 6
\]

Vậy giới hạn của hàm số là:

\[
\boxed{6}
\]