Cho tam giác ABC, M, N thuộc AB, AC sao cho MN // BC. Dựng hình bình hành AMDN. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác DNM. Chứng minh AD, BN, CM đồng quy

Để chứng minh các kết quả trong bài toán đã nêu, ta sẽ thực hiện theo từng bước:

### a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác DNM

1. **Vì MN // BC**: Do MN song song với BC, ta có các góc tương ứng bằng nhau. Cụ thể:
- \(\angle AMN = \angle ABC\) (góc đồng vị)
- \(\angle ANM = \angle ACB\) (góc đồng vị)

2. **Hình bình hành AMDN**: Trong hình bình hành AMDN, ta có:
- \(AM = DN\)
- \(AN = DM\)
- \(\angle AMN = \angle ADN\) (góc đối diện của hình bình hành).

3. **Góc \(\angle DMN\)**: Ta có góc \(\angle DMN = \angle DBC\) (góc đồng vị với \(\angle ABC\), do MN // BC).

4. **Sử dụng tiêu chí đồng dạng**: Từ các thông tin trên, ta có:
- \(\angle AMN = \angle ABC\)
- \(\angle ANM = \angle ACB\)
- Do đó, theo tiêu chí góc - góc - góc (G-G-G), ta suy ra:
\[
\triangle ABC \text{ đồng dạng } \triangle DNM
\]

### b) Chứng minh AD, BN, CM đồng quy

1. **Xét tỷ lệ giữa các đoạn**: Từ sự đồng dạng đã chứng minh ở trên, ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{DN}
\]
Từ đó, suy ra rằng các tỉ lệ này là không đổi, và ta đặt \(k\) là hằng số chung.

2. **Sử dụng tính chất giao điểm**: Gọi điểm P là giao điểm của ba đường thẳng AD, BN và CM.

3. **Xét hai tam giác**:
- Đối với tam giác DNM và tam giác ABC, do tam giác DNM đồng dạng với tam giác ABC, từ đó ta sẽ có chiều cao từ các đỉnh sẽ tạo thành các tỉ lệ tương ứng.
- Khi kéo dài các đoạn AD, BN, CM, do hai tam giác này đồng dạng, ta có thể sử dụng tính chất tỷ lệ để chứng minh rằng AD, BN, và CM sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất.

4. **Kết luận**: Từ những lý luận trên, ta có thể kết luận rằng các đường AD, BN, CM đồng quy tại một điểm P.

Vậy, hai phần a và b của bài toán được chứng minh xong.