Cho tam giác ABC ( AB > AC) . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn BC, AM. Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác góc A

Để chứng minh rằng đoạn thẳng \( EF \) song song với tia phân giác của góc \( A \) trong tam giác \( ABC \) với điều kiện \( AB > AC \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và đoạn thẳng:**
- Gọi \( M \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( BM = AC \).
- \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- \( F \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AM \).

2. **Sử dụng tính chất của trung điểm:**
- Ta biết rằng \( E \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BE = EC \).
- \( F \) là trung điểm của \( AM \) nên \( AF = FM \).

3. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng:**
- Do \( BM = AC \), ta có:
\[
AB = AM + MB \quad \text{vì } BM = AC
\]
Do đó, ta có thể viết lại như sau:
\[
AF : FM = AB : (AB - AC)
\]

4. **Tính tỉ lệ trung điểm:**
- Vì \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( AM \), nên:
\[
EF = \frac{BE + EC}{2} \qquad \text{và} \qquad EF = \frac{AF + FM}{2}
\]

5. **Sử dụng định lý phân giác:**
- Theo định lý phân giác, tia phân giác của góc \( A \) chia đoạn thẳng \( BC \) theo tỷ lệ \( AB : AC \), tức là:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]

6. **Kết luận:**
- Từ các tỉ lệ trên, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{và} \quad EF \text{ chia } AE \text{ và } FB \text{ theo cùng tỷ lệ.}
\]
=> Do đó, \( EF \) song song với tia phân giác của góc \( A \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đoạn thẳng \( EF \) song song với tia phân giác của góc \( A \).