Đường thẳng d_1 cắt các đường thẳng d_2; d_3 lần lượt tại A, B. Tính tọa độ của A, B, chu vi và diện tích tam giác OAB

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các giao điểm A và B của đường thẳng \( d_1 \) với các đường thẳng \( d_2 \) và \( d_3 \).

1. **Xác định các đường thẳng:**
- Đường thẳng \( d_1: y = 3 \)
- Đường thẳng \( d_2: y = x \)
- Đường thẳng \( d_3: y = 2x \)

2. **Tính tọa độ của điểm A (giao điểm của \( d_1 \) và \( d_2 \)):**
- Giải hệ phương trình:
\[
y = 3 \quad (1)
\]
\[
y = x \quad (2)
\]
- Thay \( y \) trong phương trình (2) vào (1):
\[
x = 3
\]
- Do đó, tọa độ điểm A là \( A(3, 3) \).

3. **Tính tọa độ của điểm B (giao điểm của \( d_1 \) và \( d_3 \)):**
- Giải hệ tương tự:
\[
y = 3 \quad (3)
\]
\[
y = 2x \quad (4)
\]
- Thay \( y \) trong phương trình (4) vào (3):
\[
2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}
\]
- Do đó, tọa độ điểm B là \( B\left(\frac{3}{2}, 3\right) \).

4. **Tính chu vi và diện tích tam giác OAB:**
- Tọa độ điểm O là \( O(0, 0) \).
- Các điểm O, A, B lần lượt là: \( O(0, 0), A(3, 3), B\left(\frac{3}{2}, 3\right) \).

5. **Tính độ dài các cạnh OA, OB, AB:**
- Độ dài OA:
\[
OA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}
\]
- Độ dài OB:
\[
OB = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{36}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}
\]
- Độ dài AB:
\[
AB = \sqrt{\left(3 - \frac{3}{2}\right)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{3}{2}
\]

6. **Tính chu vi:**
\[
P = OA + OB + AB = 3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}
\]

7. **Tính diện tích S:**
- Công thức tính diện tích tam giác OAB:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)
\]
- Tuy nhiên, ta cũng có thể dùng công thức diện tích dựa trên tọa độ:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 0(3 - 3) + 3(3 - 0) + \frac{3}{2}(0 - 3) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 9 - \frac{9}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{4}
\]

**Kết quả:**
- Tọa độ A: \( (3, 3) \)
- Tọa độ B: \( \left(\frac{3}{2}, 3\right) \)
- Chu vi: \( P = 3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2} \)
- Diện tích tam giác OAB: \( S = \frac{9}{4} \)