Bài toán yêu cầu chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi, dựa vào hình thoi ABCD trong đó các điểm E và F được chọn sao cho BE = DF.

### Các bước chứng minh:

1. **Thông tin ban đầu**:
- ABCD là hình thoi, tức là các cạnh AB = BC = CD = DA và các góc đối diện bằng nhau.
- BE = DF, với E trên BC và F trên CD.

2. **Xác định các điểm giao**:
- G và H lần lượt là giao điểm của AE với BD, và AF với BD.

3. **Chứng minh tứ giác AGCH là hình thoi**:
- Để chứng minh AGCH là hình thoi, ta cần chứng minh rằng AG = CH và AH = GC.
- Từ tính chất của hình thoi, ta có các góc đối diện bằng nhau.

4. **Áp dụng định nghĩa hình thoi**:
- Vì BE = DF và các đoạn AE, AF xuất phát từ cùng một điểm A, ta có thể sử dụng định lý về tỉ lệ cạnh và góc trong các tam giác tương ứng.
- Do đó, từ tương hỗ giữa các tam giác ABG và DCF, có thể kết luận rằng AG || CH và AH || GC.

5. **Kết luận**:
- Vì cả hai cặp cạnh AG, CH và AH, GC song song và đồng thời bằng nhau (vì BE = DF), ta có AGCH là hình thoi.

### Hình minh họa:
Khi vẽ hình, bạn sẽ thấy rằng với các định nghĩa và tính chất trên, AGCH sẽ có các cạnh và góc như mong muốn, chứng minh đúng là hình thoi.

Hy vọng các bước này giúp bạn hiểu cách tiếp cận bài toán và trình bày chứng minh!