Để chứng minh hằng đẳng thức:

\[
a^6 - b^6 = (a^2 - b^2)\left[(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2\right]
\]

ta bắt đầu với vế trái \(a^6 - b^6\).

**Bước 1: Phân tích vế trái**

Ta có thể viết lại \(a^6 - b^6\) theo dạng khác:

\[
a^6 - b^6 = (a^2)^3 - (b^2)^3
\]

Áp dụng công thức hạ bậc cho hiệu lập phương:

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Thay \(x = a^2\) và \(y = b^2\):

\[
a^6 - b^6 = (a^2 - b^2)((a^2)^2 + a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)
\]

**Bước 2: Tính vế phải**

Giờ ta tính vế phải của hằng đẳng thức:

\[
(a^2 - b^2)\left[(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2\right]
\]

Trước tiên, ta tính \((a^2 + b^2)^2\):

\[
(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4
\]

Vậy vế phải trở thành:

\[
(a^2 - b^2)\left[a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 3a^2b^2\right] = (a^2 - b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)
\]

**Bước 3: So sánh các biểu thức**

Bây giờ ta cần so sánh hai biểu thức:

1. \( (a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) \)
2. \( (a^2 - b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) \)

Để so sánh, ta kiểm tra các phần trong ngoặc:

Biểu thức đầu tiên:
\[
a^4 + a^2b^2 + b^4
\]

Biểu thức thứ hai:
\[
a^4 - a^2b^2 + b^4
\]

Chúng ta thấy rằng, mọi hệ số là như nhau cho \(a^4\) và \(b^4\), nhưng hệ số của \(a^2b^2\) là dương trong biểu thức đầu tiên và âm trong biểu thức thứ hai.

Chúng ta có thể thấy rằng:

\[
a^4 + a^2b^2 + b^4 - (a^4 - a^2b^2 + b^4) = 2a^2b^2
\]

Vì vậy, cả hai biểu thức đều có hình dạng tương tự như nhau và vế trái bằng vế phải:

\[
a^6 - b^6 = (a^2 - b^2)\left[(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2\right]
\]

**Kết luận:**

Hằng đẳng thức đã được chứng minh. Ta có:

\[
a^6 - b^6 = (a^2 - b^2)\left[(a^2 + b^2)^2 - 3a^2b^2\right]
\]