Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho:

1. \( (n+3) \) chia hết cho \( (n-1) \)
2. \( (n-1)(n+3) \) chia hết cho \( (n-1) \)

Câu 2 luôn đúng vì bất kỳ số nào khác không nhân với một số khác đều chia hết cho chính nó. Do đó, ta chỉ cần giải câu 1.

Ta có điều kiện:

\[
(n+3) \div (n-1) \Rightarrow n + 3 = k(n - 1) \text{ với } k \text{ là số nguyên}
\]

Giải phương trình này:

\[
n + 3 = kn - k
\]
\[
n - kn = -k - 3
\]
\[
n(1 - k) = -k - 3
\]
\[
n = \frac{-k - 3}{1 - k}
\]

Để \( n \) là số nguyên, điều kiện là \( -k - 3 \) chia hết cho \( 1 - k \).

Ta thử một số giá trị của \( k \):

1. **Nếu \( k = 0 \):**
\[
n = \frac{-0 - 3}{1 - 0} = -3
\]

2. **Nếu \( k = 1 \):**
\[
n = \frac{-1 - 3}{1 - 1} \text{ (không xác định)}
\]

3. **Nếu \( k = -1 \):**
\[
n = \frac{-(-1) - 3}{1 - (-1)} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

4. **Nếu \( k = -2 \):**
\[
n = \frac{-(-2) - 3}{1 - (-2)} = \frac{2 - 3}{3} = \frac{-1}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

5. **Nếu \( k = 2 \):**
\[
n = \frac{-2 - 3}{1 - 2} = \frac{-5}{-1} = 5
\]

Ta có 2 giá trị \( n = -3 \) và \( n = 5 \).

Kết luận: Các giá trị của \( n \) thỏa mãn là \( n = -3 \) và \( n = 5 \).