Để giải bài toán, ta lần lượt thực hiện các phần:

### a) Tính \( A(-1) \)

Ta có:

\[
A(x) = ax^2 + bx + c
\]

Thay \( x = -1 \) vào đa thức:

\[
A(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c
\]

Đề bài cho biết \( a + c = b - 8 \). Gọi đề này là (1).

### b) Tính \( a, b, c \)

Ta có các giá trị:

\[
A(0) = c = 4 \quad (2)
\]
\[
A(1) = a + b + 4 = 9 \implies a + b = 5 \quad (3)
\]
\[
A(2) = 4a + 2b + 4 = 14 \implies 4a + 2b = 10 \implies 2a + b = 5 \quad (4)
\]

Từ (3) và (4), ta có:

\[
a + b = 5 \quad (3)
\]
\[
2a + b = 5 \quad (4)
\]

Trừ (3) từ (4):

\[
(2a + b) - (a + b) = 5 - 5 \implies a = 0
\]

Thay \( a = 0 \) vào (3):

\[
0 + b = 5 \implies b = 5
\]

Thay \( a \) và \( b \) vào \( c \):

\[
c = 4
\]

Vậy ta có \( a = 0, b = 5, c = 4 \).

### c) Chứng minh rằng \( A(2) \cdot A(-1) \leq 0 \)

Tính \( A(2) \) và \( A(-1) \):

\[
A(-1) = 0 - 5 + 4 = -1
\]
\[
A(2) = 4(0) + 2(5) + 4 = 10 + 4 = 14
\]

Ta có:

\[
A(2) \cdot A(-1) = 14 \cdot (-1) = -14 \leq 0
\]

Vậy điều cần chứng minh đã đúng.

### Kết quả:

- \( A(-1) = a - b + c \) và từ \( a + c = b - 8 \).
- \( a = 0, b = 5, c = 4 \).
- \( A(2) \cdot A(-1) \leq 0 \).