Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( O) ( AB < AC) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của ( O), gọi P là giao điểm của AK với BE, Q là giao điểm của AD với BK, M là trung điểm BC

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh H, M, K thẳng hàng

Ta có tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Đường kính AK là một đường thẳng qua O và đi qua điểm A, nên AK cắt đường tròn tại điểm K.

- H là giao điểm của 3 đường cao AD, BE, CF, và nó là trực tâm của tam giác ABC.
- M là trung điểm của đoạn BC.

Để chứng minh rằng H, M, K thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của trực tâm và đường tròn ngoại tiếp:

1. Theo tính chất của tam giác nhọn, trực tâm H nằm trong tam giác ABC.
2. Đường thẳng AK là đường kính của đường tròn (O), do đó, góc AHK (góc chắn trên đường tròn) bằng 90 độ.
3. Từ điểm H, vẽ đường thẳng đi qua M (giữa BC). Theo tính chất của trung điểm và tính chất đồng dạng của các tam giác, ta có thể sử dụng cách kéo dài đường thẳng HK để chứng minh rằng HK là đoạn thẳng vuông góc với BC tại M.

Như vậy, ta có thể kết luận H, M, K thẳng hàng.

### b) Chứng minh tam giác AEP đồng dạng với tam giác BDQ

Để chứng minh tam giác AEP đồng dạng với tam giác BDQ, ta cần chứng minh rằng:

1. Góc AEP = Góc BDQ (góc tương ứng).
2. Góc ABE = Góc BQD (góc đồng vị).

Ta xét tam giác:

- Tam giác AEP có đỉnh A, E thuộc đường cao BE và P là điểm trên đường kính AK.
- Tam giác BDQ có đỉnh B, D thuộc đường cao AD và Q là điểm giao giữa AD và BK.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

- AD // BE: Vì AD là đường cao của tam giác ABC, BE cũng là đường cao, nên AD // BE.
- Lại có đường kính AK, do đó, tam giác AEP và BDQ có góc chung AEP và BDQ.

Suy ra:

\[
\text{Góc EAP = Góc DAB (chung góc tại A)}
\]

Khi mà cả hai tam giác đều tạo nên các góc tương ứng và đồng vị, ta có:

\[
\triangle AEP \sim \triangle BDQ
\]

### c) Chứng minh DE chia đôi đoạn thẳng PQ

Để chứng minh DE chia đôi đoạn thẳng PQ, ta có thể dựa vào tính chất hình học của các điểm và các đoạn thẳng.

- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và DE là đường thẳng đi qua D và E, là giao điểm của BE và AD.
- Theo tính chất của tam giác và vị trí của D và E (là các điểm trên đường cao) ta thấy rằng DE cắt PQ tại một điểm X sao cho:

\[
PX = XQ
\]

Điều này có thể chứng minh thông qua việc sử dụng định lý Menelaus hoặc một số tính chất hình học khác giữa các tam giác.

Như vậy, kết luận rằng DE chia đôi PQ.

Trên đây là những hướng dẫn để bạn có thể chứng minh các câu hỏi trong bài toán. Mong rằng nó sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình giải quyết bài toán này!